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2009屆高考數學壓軸題預測

專題1  函數

考點一：函數的性質與圖象

1.       已知，函數。設，記曲線在點處的切線為。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m  

(Ⅰ)求的方程；

(Ⅱ)設與軸交點為。證明：

① ；

② 若，則

(Ⅰ)分析：欲求切線的方程，則須求出它的斜率，根據切線斜率的幾何意義便不難發現，問題歸結為求曲線在點的一階導數值。

解：求的導數：，由此得切線的方程：

。

(Ⅱ)分析：①要求的變化范圍，則須找到使產生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結為的變化，因此，找到與的等量關系式，就成；② 欲比較與的大小關系，判斷它們的差的符號即可。

證：依題意，切線方程中令y＝0，

.

①                   由

.

②

。

點評：本小題主要考查利用導數求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質，以及分析和解決問題的能力。

考點二：二次函數

2.       已知二次函數，設方程的兩個實數根為和.

(1)如果，設函數的對稱軸為，求證：；

(2)如果，，求的取值范圍.

分析：條件實際上給出了的兩個實數根所在的區間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉化.

解：設，則的二根為和.

(1)由及，可得  ，即，即

兩式相加得，所以，;

(2)由， 可得  .

又，所以同號.

∴ ，等價于或，

即   或

解之得  或.

點評：在處理一元二次方程根的問題時，考察該方程所對應的二次函數圖像特征的充要條件是解決問題的關鍵。

考點三：抽象函數

3.       A是由定義在上且滿足如下條件的函數組成的集合：①對任意，都有 ； ②存在常數，使得對任意的，都有

(Ⅰ)設，證明：

(Ⅱ)設，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的;

(Ⅲ)設，任取，令證明:給定正整數k，對任意的正整數p，成立不等式

解：對任意，，，，所以

對任意的，

，

，

所以0＜，

令＝，，

所以

反證法:設存在兩個使得，則

由，得，所以，矛盾，故結論成立。

，所以

＋…

點評：本題以高等數學知識為背景，與初等數學知識巧妙結合，考查了函數及其性質、不等式性質，考查了特殊與一般、化歸與轉化等數學思想。

考點四：函數的綜合應用

4.       設函數．

(Ⅰ)求的最小值；

(Ⅱ)若對恒成立，求實數的取值范圍．

解：(Ⅰ)，

當時，取最小值，

即．

(Ⅱ)令，

由得，(不合題意，舍去)．

當變化時，的變化情況如下表：

(0，1)

(1，2)

遞增

極大值

遞減

在內有最大值．

在內恒成立等價于在內恒成立，

即等價于，

所以的取值范圍為．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力．

5.       乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米／時)的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元.

 ① 把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數，并指出函數的定義域；

 ② 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？    

分析：幾個變量(運輸成本、速度、固定部分)有相互的關聯，抽象出其中的函數關系，并求函數的最小值.

解：(讀題)由主要關系：運輸總成本＝每小時運輸成本×時間，

(建模)有y＝(a＋bv)

(解題)所以全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米／時)的函數關系式是：

y＝S(＋bv)，其中函數的定義域是v∈(0，c] .

整理函數有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函數y＝x＋ (k＞0)的單調性而得：

當＜c時，則v＝時，y取最小值；

當≥c時，則v＝c時，y取最小值.

綜上所述，為使全程成本y最小，當＜c時，行駛速度應為v＝；當≥c時，行駛速度應為v＝c.

點評：1.對于實際應用問題，可以通過建立目標函數，然后運用解(證)不等式的方法求出函數的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現解答不完整.此種應用問題既屬于函數模型，也可屬于不等式模型.

6.       設函數.

(1)在區間上畫出函數的圖像；

(2)設集合. 試判斷集合和之間的關系，并給出證明；

(3)當時，求證：在區間上，的圖像位于函數圖像的上方.

解：(1)

    (2)方程的解分別是和，由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，因此

.

    由于. 

  (3)[解法一] 當時，.

               ，

       . 又，

       ①  當，即時，取，

       .

       ，

       則. 

       ②  當，即時，取，    ＝.

    由 ①、②可知，當時，，.

    因此，在區間上，的圖像位于函數圖像的上方.

    [解法二] 當時，.

由 得，

    令 ，解得 或，

在區間上，當時，的圖像與函數的圖像只交于一點； 當時，的圖像與函數的圖像沒有交點.

如圖可知，由于直線過點，當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉得到. 因此，在區間上，的圖像位于函數圖像的上方. 

7.       設f(x)＝3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求證：

(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程f(x)＝0在(0，1)內有兩個實根.

(I)證明：因為，所以.

由條件，消去，得；

由條件，消去，得，.

故.

(II)拋物線的頂點坐標為，

在的兩邊乘以，得.

又因為而

所以方程在區間與內分別有一實根。

故方程在內有兩個實根.

8.       已知定義域為的函數是奇函數。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

解：(Ⅰ)因為是奇函數，所以＝0，即

          又由f(1)＝ －f(－1)知

     (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，易知在上

為減函數。又因是奇函數，從而不等式：  

等價于，因為減函數，由上式推得：

．即對一切有：，

從而判別式

解法二：由(Ⅰ)知．又由題設條件得：　　　　　　　　　，

　　即　：，

整理得　

上式對一切均成立，從而判別式

9.       設函數f(x)＝其中a為實數.

(Ⅰ)若f(x)的定義域為R，求a的取值范圍;

(Ⅱ)當f(x)的定義域為R時，求f(x)的單減區間.

解：(Ⅰ)的定義域為，恒成立，，

，即當時的定義域為．

(Ⅱ)，令，得．

由，得或，又，

時，由得；

當時，；當時，由得，

即當時，的單調減區間為；

當時，的單調減區間為．

10.    已知定義在正實數集上的函數，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求證：()．

解：(Ⅰ)設與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數，在為減函數，

于是在的最大值為．

(Ⅱ)設，

則．

故在為減函數，在為增函數，

于是函數在上的最小值是．

故當時，有，即當時，．