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個

 = A (A+1) ，   得證

(2)

 點評：本題難點在于求出數列的通項，再將這個通項“分成” 兩個相鄰正數的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

4.       已知數列滿足，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和；

（Ⅲ）設，數列的前項和為．求證：對任意的，．

分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉化成等比型的數列，對數列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。

解：（Ⅰ），，

又，數列是首項為，公比為的等比數列．

 ，　即.　　　　　　　　 　　

（Ⅱ）．

．     

（Ⅲ），

．                     

當時，則

．

，   對任意的，．        

 點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列的通項，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點要重點講到。

考點三：數列與不等式的聯系

5.       已知為銳角，且，

函數，數列{a_n}的首項.

    ⑴ 求函數的表達式；

    ⑵ 求證：；

⑶ 求證：

分析：本題是借助函數給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數的性質，第（3）問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數列中的不等式的另一種出路。

解：⑴    又∵為銳角

            ∴    ∴        

       ⑵       ∵     ∴都大于0

            ∴      ∴       

       ⑶   

∴            

            ∴

∵,  ,  又∵

            ∴            ∴

            ∴

點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。

6.       已知數列滿足

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若數列滿足，證明：是等差數列；

（Ⅲ）證明：

分析：本例（1）通過把遞推關系式轉化成等比型的數列；第（2）關鍵在于找出連續三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮。

解：（1），

故數列是首項為2，公比為2的等比數列。

，

（2），

①

②

②―①得，即③

④

④―③得，即

所以數列是等差數列

（3）

設，則

 點評：數列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。

7.       已知函數,數列滿足,

; 數列滿足, .求證:

（Ⅰ）

（Ⅱ）

    （Ⅲ）若則當n≥2時,.

分析：第（1）問是和自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法證明；第（2）問可利用函數的單調性；第（3）問進行放縮。

解：(Ⅰ)先用數學歸納法證明,.

    （1）當n=1時,由已知得結論成立;

    （2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,

    因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數.

    又f(x)在上連續,所以f(0)<f()<f(1),即0<.

    故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數都成立.

    又由, 得,從而.

    綜上可知

    (Ⅱ)構造函數g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

    由,知g(x)在(0,1)上增函數.

    又g(x)在上連續,所以g(x)>g(0)=0.

因為,所以,即>0,從而

(Ⅲ) 因為 ,所以, ,

    所以   ――――① ,

    由(Ⅱ)知:,  所以= ,

    因為, n≥2,

所以 <<=――――② .

由①② 兩式可知: .

 點評：本題是數列、超越函數、導數的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。

考點四：數列與函數、向量等的聯系

8.       已知函數f(x)=，設正項數列滿足=l，．

   (1)寫出、的值;

 (2)試比較與的大小，并說明理由；

(3)設數列滿足=－，記S_n=．證明：當n≥2時,S_n＜(2ⁿ－1)．

分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)，因為所以

（2）因為所以

,

因為所以與同號，

因為，…，即

（3）當時，

，

所以，

所以

 點評：本題是函數、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。

9.       在平面直角坐標系中，已知三個點列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中

    ，滿足向量與向量共線，且點（B，n）在方向向量為（1，6）的

線上

   （1）試用a與n表示；

   （2）若a₆與a₇兩項中至少有一項是a_n的最小值，試求a的取值范圍。

分析：第（1）問實際上是求數列的通項；第（2）問利用二次函數中求最小值的方式來解決。

解：（1）

又∵{B_n}在方向向量為（1，6）的直線上，

（2）∵二次函數是開口向上，對稱軸為的拋物線

又因為在a₆與a₇兩項中至少有一項是數列{a_n}的最小項，

∴對稱軸

 點評：本題是向量、二次函數、不等式知識和交匯題，要解決好這類題是要有一定的數學素養的。