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 母子相似形的妙用

    “一母生兩子，兩子皆似母。”直角三角形斜邊上的高將原直角三角形分為兩個(gè)小直角三角形，這兩個(gè)小直角三角形都和原直角三角形相似，這種基本圖形我們不妨形象地叫做母子相似形。在母子相似形中有三個(gè)重要的結(jié)論（如圖1）：

    其應(yīng)用十分廣泛，有些幾何命題，雖然條件中沒有給出這種基本圖形，但可以根據(jù)題目特征，構(gòu)造出母子相似形，巧妙地運(yùn)用三個(gè)結(jié)論，從而達(dá)到靈活解題的目的。下舉例說明：

    例1  如圖2，在中，AB=AC，高AD與BE交于H，，垂足為F，延長(zhǎng)AD到G，使DG=EF，M是AH的中點(diǎn)。

    求證：

    分析：依題意知，因而有諸多的直角三角形，故應(yīng)充分考慮母子相似形的應(yīng)用。

    欲證

    因

    只要證

    而BD=DE，GD=EF

    故只要證

    若將EF平移至DK，并連ME，這時(shí)只要證是母子相似形，即只要證，也就是要證，而在直角三角形BEC和HEA中，D、M分別為斜邊BC、HA的中點(diǎn)，所以容易得，又易證，至此，思路理順，命題可證。

    例2  如圖3，已知⊙外切⊙于P，一條外公切線分別切兩圓于點(diǎn)M、N，A為⊙上任意一點(diǎn)，AP交⊙于B，AM交BN于C，AD切⊙于D。求證：AD=AC。

    分析：AD是⊙的切線，由切割線定理，知

    如圖3，連結(jié)CP，則問題轉(zhuǎn)化為證構(gòu)成母子相似形

    即需證

    而根據(jù)題意易知，

    又因?yàn)榍悬c(diǎn)三角形PMN是直角三角形

    故證得，且有P、M、C、N四點(diǎn)共圓

    因而

    于是有為母子相似形

    即得

    所以

    于是由<1>、<2>知，命題得證。