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 完全平方公式變形的應用

  姜峰

    完全平方公式是多項式乘法中非常重要的一個公式。掌握其變形特點并靈活運用，可以巧妙地解決很多問題。

   一. 完全平方公式常見的變形有

    a²+b²=（a+b）²-2ab，

    a²+b²=（a-b）²+2ab，

    （a+b）²-（a-b）²=4ab，

     a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+ac+bc）

  二. 乘法公式變形的應用

    例1： 已知：x²+y²+4x-6y+13=0，x、y均為有理數，求x^y的值。

    分析：逆用完全乘方公式，將

    x²+y²+4x-6y+13化為兩個完全平方式的和，利用完全平方式的非負性求出x與y的值即可。

    解：∵x²+y²+4x-6y+13=0，

    （x²+4x+4）+（y²-6y+9）=0，

    即（x+2）²+（y-3）²=0。

    ∴x+2=0，y=3=0。

    即x=-2，y=3。

    ∴x^y=（-2）³=-8。

    分析：本題巧妙地利用

    例3 已知：a+b=8，ab=16+c²，求（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    分析：由已知條件無法直接求得（a-b+c）²⁰⁰²的值，可利用（a-b）²=（a+b）²-4ab確定a-b與c的關系，再計算（a-b+c）²⁰⁰²的值。

    解：（a-b）²=（a+b）²-4ab=8²-4（16+c²）=-4c²。

    即：（a-b）²+4c²=0。

    ∴a-b=0，c=0。

    ∴（a-b+c）²⁰⁰²=0。

    例4 已知：a、b、c、d為正有理數，且滿足a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd。

    求證：a=b=c=d。

    分析：從a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd的特點看出可以化成完全平方形式，再尋找證明思路。

    證明：∵a⁴+b⁴+C⁴+D⁴=4abcd，

    ∴a⁴-2a²b²+b⁴+c⁴-2c²d²+d⁴+2a²b²-4abcd+2c²d²=0，

    （a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0。

     a²-b²=0，c²-d²=0，ab-cd=0

    又∵a、b、c、d為正有理數，

    ∴a=b，c=d。代入ab-cd=0，

    得a²=c²，即a=c。

    所以有a=b=c=d。

    練習：

    1. 已知：x²+3x+1=0。

    2. 已知x，y，z滿足條件

    求：（1）x²+y²+z²

    （2）x⁴+y⁴+z⁴的值

    3. 已知：x=a²+b²，y=c²+d²。

    求證：x，y可表示成平方和的形式。

    4. 已知：ad-bc=1

    求證：a²+b²+c²+d²+ad+cd≠1。