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 一類二次根式題的統一解法

趙春祥

    若a、b、c為非負有理數。

    都是同類二次根式，利用這一性質解題，對培養逆向思維大有好處。下面舉例說明。

    例1 已知x、y都為正數，且，求x+y的值。

    解：因為只有同類二次根式才能合并，而

    又

    所以設（a、b為正整數），

    則有

    即得a+b=3。

    所以a=1，b=2

    或a=2，b=1。

    ∴x=222，y=888

    或x=888，y=222。

    ∴x+y=1110。

    例2 若a、b、c為有理數，且等式

    （  ）。

    A. 1999     B. 2000      C. 2001     D. 不能確定

    解：

    而

    因此，2a+999b+1001c=2000。

    故選B。

    例3 方程

     A. 2         B. 3             C. 4            D. 5

    解：

    考慮到x，y的對稱性得所求整數對為（0，336），（336，0），（21，189），（189，21），（84，84）。共有5對。

    故選D。

    例4 （x，y）中，x+y的最大值是（  ）。

    A.1189        B. 1517         C. 1657      D. 1749

    解：已知等式可化為

    由此可設

    此時x+y=41（a²+b²）。

    ∵a、b為滿足等式a+b=7的正整數，

    ∴a=1，b=6或a=6，b=1時，

    a²+b²有最大值為37。

    則x+y的最大值為41×37=1517。

    故選B。

    例5 正整數a、m、n滿足

    ，則這樣的a、m、n取值（  ）

    A. 有一組       B. 有二組    C. 多于三組    D. 不存在

    解：將已知兩邊平方，得

    ，

    根據有理數與無理數部分對應相等，

    得：

    ∵m≥n，且m、n為正整數。

    ∴

    （不滿足①，舍去）。

   ∴a=3。

    故選A。