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【答案】分析：先根據關于x的一元二次方程x²-2x+a=0一定有實根則△＞0可求出a的取值范圍，根據a是非負整數可得到a的值，再把a的值代入原方程即可求出方程的根，再根據方程只有正整數根舍去不合題意的根即可．
解答：解：依題意知：關于x的一元二次方程x²-2x+a=0一定有實根，
∴△≥0．
即4-4a≥0．解得a≤1．
∵a是非負整數，
∴a=1或a=0．（2分）
當a=1時，關于x的一元二次方程為x²-2x+1=0，解這個方程得x₁=x₂=1．
∵1是正整數，
∴a=1符合題意；（3分）
當a=0時，關于x的一元二次方程為x²-2x=0，
解這個方程得x₂=2，x₁=0，
∵0不是正整數，
∴a=0不符合題意，故舍去．（4分）
即所求的非負整數a=1．（5分）
故答案為：1．
點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式，根據題意求出符合條件的a的值是解答此題的關鍵．