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(2013•寧德模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1為偶函數(shù),且f(-1)=-1.
(I )求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)若函數(shù)g(x)=f(x)+(2-k)x在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(I)由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,可得b值,進(jìn)而根據(jù)f(-1)=-1,可得a值,進(jìn)而可得函數(shù)f(x)的解析式;
(II)若函數(shù)g(x)=f(x)+(2-k)x在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞減,可得區(qū)間(-2,2)在對(duì)稱軸的左側(cè),進(jìn)而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍
解答:解:(I)∵二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1為偶函數(shù),
故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
即x=-
b
2a
=0,即b=0
又∵f(-1)=a+1=-1,即a=-2.
故f(x)=-2x2+1
(II)由(I)得g(x)=f(x)+(2-k)x=-2x2+(2-k)x+1
故函數(shù)g(x)的圖象是開(kāi)口朝下,且以x=
2-k
4
為對(duì)稱軸的拋物線
故函數(shù)g(x)在(-∞,
2-k
4
]上單調(diào)遞增,
又∵函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,
2-k
4
≥2
解得k≤-6
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為(-∞,-6]
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),是解答的關(guān)鍵.
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a
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