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從橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和拋物線C2：x2=2py（p＞0）上各取兩點．將其坐標記錄于表中：
 x -3  0  1  
5
 y  
9
4
  
2
  
1
4
  
3
2
（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程；
（2）橢圓C1和拋物線C2的交點記為A、B，點M為橢圓上任意一點，求
MA
 • 
MB
的取值范圍．
分析：（1）先利用
x2
y
=2p（常數）判斷哪兩點在拋物線C2上，從而另外兩點在橢圓C1上．再利用待定系數法，即可求出橢圓C1和拋物線C2的方程；
（2）設點M的坐標為（x0，y0），利用數量積的坐標公式將
MA
 • 
MB
轉化成x0，y0的式子，結合點M在橢圓C1上可得x0，y0滿足的關系式，從而將
MA
 • 
MB
表示成關于y0的代數式，利用配方法并根據y0的范圍加以計算，即可得到
MA
 • 
MB
的取值范圍．
解答：解：（1）根據拋物線方程x2=2py，經驗證知點（-3，
9
4
）、（1，
1
4
）在拋物線C2上，
由此可得（-3）2=2p×
9
4
，解得2p=4，拋物線C2方程為x2=4y，
∵點（0，
2
）、（
5
，
3
2
）在橢圓C1上，
∴
02
a2
+
2 
b2
=1
5 
a2
+
3
4
 
b2
=1
，解之得a2=8，b2=2，得橢圓C1方程為
x2
8 
+
y2
2
=1；
（2）將橢圓C1方程與拋物線方程聯解，得A（-2，1），B（2，1）
設點M的坐標為（x0，y0），可得
MA
=(-2-x0，1-y0)，
MB
=(2-x0，1-y0)
∴
MA
 • 
MB
=（-2-x0）（2-x0）+（1-y0）（1-y0）=x02-4+y02-2y0+1
結合橢圓方程，化簡得
MA
 • 
MB
=-3-2y0+5=-3（y0+
1
3
）2+
16
3

∵y0∈[-2，2]，∴-3（y0+
1
3
）2+
16
3
∈[-1-
2
，
16
3
]
即
MA
 • 
MB
的取值范圍[-1-
2
，
16
3
]．
點評：本題給出橢圓拋物線經過的定點，求它們的方程并研究
MA
 • 
MB
的取值范圍，著重考查了橢圓、拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．
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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

從橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和拋物線C2：x2=2py（p＞0）上各取兩點．將其坐標記錄于表中：
 x -3  0  1  
5
 y  
9
4
  
2
  
1
4
  
3
2
（1）求橢圓C1和拋物線C2的方程；
（2）橢圓C1和拋物線C2的交點記為A、B，點M為橢圓上任意一點，求
MA
 • 
MB
的取值范圍．

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