已知函數
，函數
的導函數
，且
，其中
為自然對數的底數．
（1）求
的極值；
（2）若
，使得不等式
成立，試求實數
的取值范圍；
（3）當
時，對于
，求證：
．
(1)當
時，
沒有極值；
當
時，
存在極大值，且當
時，
.
(2)
.
(3)見解析.
【解析】
試題分析：(1) 首先確定函數
的定義域為
，求導數
．為確定函數的極值，應討論，的不同情況.
(2) 首先求出
，將問題轉化成
，使得
成立，
引入
，將問題可轉化為：
利用導數求的最大值，得解.
(3)當
時，
，構造函數
，即
，
應用導數研究函數的單調性、極值，得到
.
方法比較明確，分類討論、轉化與化歸思想的應用，是解決問題的關鍵.
試題解析：(1) 函數的定義域為，．
當時，
，
在
上為增函數，沒有極值； 1分
當時，
，
若
時，
；若
時，
存在極大值，且當時，
綜上可知：當時，沒有極值；當時，存在極大值，且當時， 4分
(2) 
函數
的導函數
，
，
， 5分
，使得不等式
成立，
，使得成立，
令，則問題可轉化為：
對于，
，由于
，
當時，
，
，
，
，從而
在
上為減函數，
9分
(3)當時，，令，則，
，且
在
上為增函數
設
的根為
，則
，即
當
時，
，
在
上為減函數；當
時，
，在
上為增函數，
，
，
由于
在
上為增函數，
14分
考點：應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，應用導數證明不等式.
名師金手指領銜課時系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
 已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），部分函數值如下表，f'（x）為f（x）的導函數，f'（x）的圖象如圖所示．如果實數a滿足f（a）＜1，則a的取值范圍是（ ）
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知函數f（x）（x∈R）的一段圖象如圖所示，f′（x）是函f（x）（數的導函數，且y=f（x+1）是奇函數，給出以下結論：查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
已知函數f（x）的定義域為[-3，+∞），部分函數值如表所示，其導函數的圖象如圖所示，若正數a，b滿足f（2a+b）＜1，則| b+2 |
| a+2 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| x | -3 | 0 | 6 |
| f（x） | 1 | -1 | 1 |
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科目：高中數學 來源：黑龍江省哈師大附中2011－2012學年高二下學期第一次月考月考數學文科試題 題型：013
已知函數f(x)的定義域為[－2，＋∞)，部分函數值如下表，
為f(x)的導函數，
的圖象如圖所示．如果實數a滿足f(a)＜1，則a的取值范圍是
A．(－2，0)
B．(0，4)
C．(－2，4)
D．[－2，4)
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科目：高中數學 來源： 題型：單選題
已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），部分函數值如下表，f'（x）為f（x）的導函數，f'（x）的圖象如圖所示．如果實數a滿足f（a）＜1，則a的取值范圍是| x | -2 | 0 | 4 |
| f（x） | 1 | -1 | 1 |
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