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閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：如圖1，正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點，連接AF、BG、CH、DE，形成四邊形MNPQ．求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（用含n的代數式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如圖2，將△ABN繞點B順時針旋轉90゜至△CBN′，再將△ADM繞點D逆時針旋轉90゜至△CDM′，得到5個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是

；
請你參考小明的做法，解決下列問題：
（1）取n=3，如圖3，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

（直接寫出結果）；
（2）在圖4中探究，n=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

（在圖4上畫圖并直接寫出結果）；
（3）猜想：當E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點時，四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為

（用含n的代數式表示）；
（4）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）．

分析：（1）查出旋轉后的正方形的個數是10，中間四邊形中正方形的個數是4，然后計算即可求解；
（2）根據四等分點再找出其它的等分點，仿照圖3的作法畫出圖形，然后再查出旋轉后的正方形的個數是17，中間四邊形中正方形的個數是9，然后計算即可求解；
（3）根據前四個圖形的數據規律，分子是序數減1，再平方，分母是序數的平方再加上1，寫出即可；
（4）根據面積是10，所以拼接后的正方形的邊長是

，然后根據網格的特點進行剪接．

解答：解：

（1）正方形ABCD的面積是10個小正方形，四邊形MNPQ是4個小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：

；（2分）

（2）如圖1．（3分）
正方形ABCD的面積是17個小正方形，四邊形MNPQ是9個小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：

；（5分）

（3）正方形ABCD的面積是n²+1個小正方形，四邊形MNPQ是（n-1）²個小正方形，
∴四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比為：

(n-1)2

n2+1

；（7分）

（4）如圖2．（8分）
設每個小正方形的面積是1，圖形面積是10，
所以拼接后的正方形的邊長是

，
∴拼接后的正方形的是正方形ABCD．（9分）

點評：本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，以及設計作圖，難度不大，讀懂題目提供的信息是解題的關鍵．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2010•房山區一模）閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：如圖1，正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD和DA邊上靠近A、B、C、D的n等分點，連接AF、BG、CH、DE，形成四邊形MNPQ．求四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（用含n的代數式表示）．
小明的做法是：
先取n=2，如圖2，將△ABN繞點B順時針旋轉90゜至△CBN′，再將△ADM繞點D逆時針旋轉90゜至△CDM′，得到5個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是

；
然后取n=3，如圖3，將△ABN繞點B順時針旋轉90゜至△CBN′，再將△ADM繞點D逆時針旋轉90゜至△CDM′，得到10個小正方形，所以四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比是

，即

；
請你參考小明的做法，解決下列問題：
（1）在圖4中探究n=4時四邊形MNPQ與正方形ABCD的面積比（在圖4上畫圖并直接寫出結果）；
（2）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

（2012•大興區一模）閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=40°，試過△ABC的一個頂點畫一條直線，將此三角形分割成兩個等腰三角形．
他的做法是：如圖2，首先保留最小角∠C，然后過三角形頂點A畫直線交BC于點D．將∠BAC分成兩個角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成兩個等腰三角形．
喜歡動腦筋的小明又繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．
他的做法是：如圖3，先畫△ADC，使DA=DC，延長AD到點B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB=∠ABC，因為∠CDB=2∠A，所以∠ABC=2∠A．于是小明得到了一個結論：
當三角形中有一個角是最小角的2倍時，則此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．
請你參考小明的做法繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．請直接寫出你所探究出的另外兩條結論（不必寫出探究過程或理由）．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下列材料：

小明遇到一個問題：已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，試過△ABC的一個頂點畫一條直線，將此三角形分割成兩個等腰三角形.

他的做法是：如圖2，首先保留最小角∠C，然后過三角形頂點A畫直線交BC于點D. 將∠BAC分成兩個角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成兩個等腰三角形.

喜歡動腦筋的小明又繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形.

他的做法是：

如圖3，先畫△ADC ，使DA=DC，延長AD到點B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因為∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一個結論：

當三角形中有一個角是最小角的2倍時，則此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．

請你參考小明的做法繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形.請直接寫出你所探究出的另外兩條結論（不必寫出探究過程或理由）．

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科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

如圖3，先畫△ADC ，使DA=DC，延長AD到點B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因為∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一個結論：
當三角形中有一個角是最小角的2倍時，則此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．
請你參考小明的做法繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形.請直接寫出你所探究出的另外兩條結論（不必寫出探究過程或理由）．

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科目：初中數學 來源：2011-2012學年北京大興區中考一模數學試卷（帶解析） 題型：解答題

閱讀下列材料：
小明遇到一個問題：已知：如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，試過△ABC的一個頂點畫一條直線，將此三角形分割成兩個等腰三角形.
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他的做法是：

如圖3，先畫△ADC ，使DA=DC，延長AD到點B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因為∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一個結論：
當三角形中有一個角是最小角的2倍時，則此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形．
請你參考小明的做法繼續探究：當三角形內角中的兩個角滿足怎樣的數量關系時，此三角形一定可以被過頂點的一條直線分割成兩個等腰三角形.請直接寫出你所探究出的另外兩條結論（不必寫出探究過程或理由）．

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