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已知雙曲線C：
x2
4
-y2=1，F1，F2是它的兩個焦點．
（Ⅰ）求與C有共同漸近線且過點（2，
5
）的雙曲線方程；
（Ⅱ）設P是雙曲線C上一點，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積．
分析：（Ⅰ）設所求的雙曲線方程為
x2
4
-y2=λ，代點可得λ，進而可得方程；
（Ⅱ）由雙曲線的定義可得||PF1|-|PF2||=4，再由余弦定理可得|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|，代入數據|PF1||PF2|的值，代入面積公式可得．
解答：解：（Ⅰ）設與
x2
4
-y2=1有共同漸近線的雙曲線方程為
x2
4
-y2=λ，
又所求雙曲線過點(2，
5
)，
∴λ=
22
4
-(
5
)2=-4，
故所求雙曲線方程為
x2
4
-y2=-4，即
y2
4
-
x2
16
=1；
（Ⅱ）由雙曲線的定義可得||PF1|-|PF2||=4，
由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|，
代入數據可得20=16+|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|=4
∴S△F1PF2=
1
2
|PF1||PF2|sin60°=
1
2
×4×
3
2
=
3
點評：本題考查雙曲線的簡單性質，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x24
-y2=1，P為C上的任意點．
（1）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；
（2）設點A的坐標為（3，0），求|PA|的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
4
-
y2
5
=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于兩點A、B，若|AB|=5，則滿足條件的l的條數為
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2006•西城區一模）已知雙曲線C：
x2
4
-y2=1，以C的右焦點為圓心且與其漸近線相切的圓方程為
（x-
5
）2+y2=4，
（x-
5
）2+y2=4，
，若動點A，B分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|AB|=2，則線段AB中點的軌跡方程為
16x2+y2=4
16x2+y2=4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•南京二模）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：
x2
4
-
y2
3
=1．設過點M（0，1）的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，若
AM
=2
MB
，則直線l的斜率為
±
1
2
±
1
2
．

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同步練習冊答案
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