【題目】已知M是橢圓C：
+
=1(a>b>0)上一點，F1F2分別為橢圓C的左右焦點，且|F1F2|=2，∠F1MF2=
，△F1MF2的面積為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過橢圓C右焦點F2，交該橢圓于AB兩點，AB中點為Q，射線OQ交橢圓于P，記△AOQ的面積為S1，△BPQ的面積為S2，若
，求直線l的方程.
【答案】（1）
+
=1；（2）
.
【解析】
（1）根據 |F1F2|=2，得到c=1，設
根據∠F1MF2=
，△F1MF2的面積為
，
，得到
，然后在
中，由余弦定理結合橢圓的定義解得 
，求得
即可.
（2）根據
，由
，得到
，從而
，當AB斜率不存在時，
，不合題意，當AB斜率存在時，設直線方程為
，設點
，則
，兩式作差得到
，故設直線OP的方程為：
，分別聯立橢圓方程和直線AB的方程，求得點P，Q的坐標，由求解.
（1）因為 |F1F2|=2，
所以c=1，設
，
因為∠F1MF2=，△F1MF2的面積為，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得：
，
即
，
解得，
所以
，
所以橢圓C的方程是+=1.
（2）因為，
所以，
所以，
所以，
當AB斜率不存在時，，不合題意，
當AB斜率存在時，設直線方程為，
設點，
則，
兩式作差得：
，即，
故直線OP的方程為：，
聯立
，解得
，
聯立
，解得
，
因為
，
所以
，
即
，
解得：
，
所以直線AB的方程為.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是拋物線C：
上的一點，過P作互相垂直的直線PA，PB．與拋物線C的另一交點分別是A，B.
（1）若直線AB的斜率為
，求AB方程；
（2）設
，當
時，求△PAB的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某景區平面圖如圖1所示，
為邊界上的點．已知邊界
是一段拋物線，其余邊界均為線段，且
，拋物線頂點
到
的距離
．以所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立平面直角坐標系．
（1）求邊界所在拋物線的解析式；
（2）如圖2，該景區管理處欲在區域
內圍成一個矩形
場地，使得點
在邊界上，點
在邊界上，試確定點
的位置，使得矩形的周長最大，并求出最大周長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，點
在橢圓
上，
，
，且的離心率為
，拋物線
，點
在
上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作的切線
，若
，直線
與交于
兩點，求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】北京2022年冬奧會和冬殘奧會色彩系統的主色包括霞光紅迎春黃天霽藍長城灰瑞雪白；間色包括天青梅紅竹綠冰藍吉柿；輔助色包括墨金銀.若各賽事紀念品的色彩設計要求：主色至少一種至多兩種，間色兩種輔助色一種，則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白冰藍銀色這三種顏色的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的普通方程為
，直線
的參數方程為
（
為參數），其中
．以坐標
為極點，以
軸非負半軸為極軸，建立極坐標系．
（1）求曲線的極坐標方程和直線的普通方程；
（2）設點
，
的極坐標方程為
，直線與
的交點分別為
，
．當
為等腰直角三角形時，求直線的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記無窮數列
的前n項
，
，…，
的最大項為
，第n項之后的各項
，
，…的最小項為
，
．
（1）若數列的通項公式為
，寫出
，
，
；
（2）若數列
的通項公式為
，判斷
是否為等差數列，若是，求出公差；若不是，請說明理由；
（3）若數列為公差大于零的等差數列，求證：是等差數列．
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