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以下關于圓錐曲線的四個命題：
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，|
PA
|-|
PB
|=k，則動點P的軌跡是雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，則動點P的軌跡是圓（點A除外）；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④到定點（1，0）的距離比到y軸的距離大1的動點P的軌跡是拋物線．
其中真命題的序號為
②③
②③
（寫出三友真命題的序號）．
分析：命題①利用舉反例加以說明；
命題②設出定圓的方程，利用代入法分析可知AB中點P的軌跡為圓（除去A點）；
命題③求出方程的兩根即可得到答案；
命題④利用舉反例的辦法加以判斷．
解答：解：對于①，若|k|＞|AB|，則滿足|
PA
|-|
PB
|=k的動點P在實平面內不表示任何圖形，∴①不正確；
對于②，設定圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，點A（m，n），P（x，y），
由
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，可知P為AB的中點，則B（2x-m，2y-n），∵AB為圓的動弦，所以B在已知圓上，
把B的坐標代入圓x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當B與A重合時AB不是弦，∴點A除外，∴②正確；
對于③，方程2x2-5x+2=0的兩根分別為
1
2
和2，∴方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率正確；
對于④，設動點P（x，y），由題意知，x軸負半軸（含原點）上的點都滿足到定點（1，0）的距離比到y軸的距離大1，∴④不正確．
所以正確的命題是②③．
故答案為②③．
點評：本題考查了拋物線及雙曲線的定義，考查了命題的真假的判斷，要說明一個命題為真，需要嚴格的證明，要說明命題是假命題，只要舉一個反例即可，此題屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

以下是關于圓錐曲線的四個命題：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，若PA-PB=k，則動點P的軌跡是雙曲線；
②方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1與橢圓
x2
35
+y2=1有相同的焦點；
④以過拋物線的焦點的一條弦AB為直徑作圓，則該圓與拋物線的準線相切．
其中真命題為
②③④
②③④
（寫出所以真命題的序號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下關于圓錐曲線的四個命題中:

①設A、B為兩個定點,k為非零常數,若|PA|-|PB|=k,則動點P的軌跡為雙曲線;

②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,則=(+),則動點P的軌跡為橢圓;

③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;

④雙曲線=1與橢圓+y2=1有相同的焦點.

其中真命題的序號是_______________.(寫出所有真命題的序號)

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下關于圓錐曲線的四個命題中:

①設A、B為兩個定點,k為非零常數,若|PA|-|PB|=k,則動點P的軌跡為雙曲線;

②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,則=(+),則動點P的軌跡為橢圓;

③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;

④雙曲線=1與橢圓+y2=1有相同的焦點.

其中真命題的序號是_______________.(寫出所有真命題的序號)

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科目：高中數學 來源：2005-2006學年江蘇省南通市高二（上）期末數學試卷（解析版） 題型：填空題

以下關于圓錐曲線的四個命題：
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，，則動點P的軌跡是雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若，則動點P的軌跡是圓（點A除外）；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④到定點（1，0）的距離比到y軸的距離大1的動點P的軌跡是拋物線．
其中真命題的序號為    （寫出三友真命題的序號）．

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