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精英家教網如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=
π4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅱ）求點B到平面OCD的距離．
分析：（Ⅰ）求異面直線所成的角，可以做適當的平移，把異面直線轉化為相交直線，然后在相關的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時主要是根據中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等．∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）．
（Ⅱ）在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉化為求點到平面的距離．本題可以先“轉化”：當由點向平面引垂線發生困難時，可利用線面平行或面面平行轉化為直線上（平面上）其他點到平面的距離．∵AB∥平面OCD，所以點B和點A到平面OCD的距離相等．
連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q．∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離．
解答：精英家教網解（Ⅰ）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）．
作AP⊥CD于點P，連接MP．
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP．
∵∠ADP=
π
4
，∴DP=
2
2
．
∵MD=
MA2+AD2
=
2
，
∴cos∠MDP=
DP
MD
=
1
2
，∠MDC=∠MDP=
π
3
．
所以，異面直線AB與MD所成的角為
π
3
．
（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，所以點B和點A到平面OCD的距離相等．
連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q．
∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離．
∵OP=
OD2-DP2
=
OA2+AD2-DP2
=
3
2
2
，AP=PD=
2
2
，
∴AQ=
OA•AP
OP
=
2×
2
2
3
2
2
=
2
3
．
所以，點B到平面OCD的距離為
2
3
．
點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、異面直線所成角及點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC中點，以A為原點，建立適當的空間直角坐標系，利用空間向量解答以下問題
（1）證明：直線BD⊥OC
（2）證明：直線MN∥平面OCD
（3）求異面直線AB與OC所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-OD-C的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π3
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（1）求三棱錐B-OCD的體積；
（2）求異面直線AB與MD所成角的余弦值；
注：若直線a⊥平面α，則直線a與平面α內的所有直線都垂直．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點
（1）求三棱錐B-OCD的體積；
（2）求異面直線AB與MD所成角的大小；
注：若直線a⊥平面α，則直線a與平面α內的所有直線都垂直．

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科目：高中數學 來源：江蘇同步題 題型：解答題

如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A﹣OD﹣C的余弦值．

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同步練習冊答案
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