Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點到焦點的最長距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點P（0，2）的直線l（不過原點O）與橢圓C交于兩點A、B，M為線段AB的中點．

（ⅰ）證明：直線OM與l的斜率乘積為定值；

（ⅱ）求△OAB面積的最大值及此時l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）詳見解析；（ⅱ）△AOB面積的最大值是，此時l的斜率為±.

【解析】

（1）由題意得，解得即可求出方程，

（2）（i）設直線l為：y=kx+2，根據韋達定理和斜率公式即可求出，

（ii）先根據弦長公式求出|AB|及原點到直線的距離，再令=t，表示出三角形的面積，利用基本不等式即可求出．

解：（1）由題意得，解得，

∴a2=2，b2=a2-c2=1，

∴橢圓C的方程為；

（2）（ⅰ）設直線l為：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

由題意得，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0，

∴△=8（2k2-3）＞0，即，

由韋達定理得：x1+x2=-，x1x2=，

∴，，

∴，∴，

∴直線OM與l的斜率乘積為定值．

（ⅱ）由（ⅰ）可知： ，

原點到直線AB的距離為

令=t，則t＞0，

∴S△AOB==≤=，

當且僅當t=2時等號成立，此時k=±，且滿足△＞0，

∴△AOB面積的最大值是，此時l的斜率為±．