Question

14．飛船繞火星做勻速圓周運動，離火星表面的高度為H，飛行了n圈，所用的時間為t．已知火星半徑為R，求：
（1）火星表面的重力加速度g；
（2）在火星上發射衛星，則其“第一宇宙速度”多大？

Answer 1

分析 （1）萬有引力提供向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律求出火星的質量；火星表面的物體受到的重力等于萬有引力，應用萬有引力公式可以求出重力加速度．
（2）萬有引力提供向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）飛船做圓周運動的周期：T=$\frac{t}{n}$，
萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+H），解得：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+H）^{3}}{G{t}^{2}}$，
萬有引力等于重力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：g=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+H）^{3}}{{t}^{2}{R}^{2}}$；
（2）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\frac{2πn（R+H）}{t}$$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$
答：（1）火星表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+H）^{3}}{{t}^{2}{R}^{2}}$；
（2）在火星上發射衛星，則其“第一宇宙速度”為$\frac{2πn（R+H）}{t}$$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，考查了求重力加速度、第一宇宙速度問題，知道萬有引力等于重力、萬有引力提供向心力是解題的前提與關鍵，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題．