Question

（2006?福建模擬）微觀粒子之間的相互作用都是通過交換某種粒子（如光子、中間玻色子、膠子）來實現的．粒子間的排斥作用可以簡化為如下的一個力學模型來描述：
水平冰面上兩個質量均為m的滑冰者A和B，分別以大小為υ_A和υ_B的水平速度相向運動（如圖甲）．當它們趨近到一定距離時，為避免相撞，A立即沿水平方向向B扔出一個動量大小為p（相對地面，下同）、質量可以忽略的小球，小球在B手中停留一段時間T后又以大小相同的動量p水平扔回A手中，A又經相同時間T再次以同樣大小的動量水平扔給B，并不斷重復上述過程，直至兩個滑冰者避免了相撞．設水平冰面摩擦不計，除小球在A、B手中停留的時間T外，不計空中飛行的時間，以水平向右為正方向．求：
（1）滑冰者B第一次把球接到手中時A、B的速度；
（2）從A開始扔球算起，球在A、B之間至少被扔出幾次才可以避免兩個滑冰者相撞？
（3）設m=60kg，υ_A=2m/s，υ_B=1m/s，p=30kg?m/s，T=1s，t=0時A剛好扔出小球，試在圖乙給出的同一個υ-t坐標圖上，畫出問（2）過程中A、B兩個滑冰者的速度隨時間變化的υ-t圖線（不要求寫出計算過程，只按畫出的圖線評分，但圖線上必須注明A和B）

Answer 1

分析：（1）第一次A扔球，A與球的動量守恒，B接球過程，B與球的動量守恒，根據動量守恒定律列式求解；
（2）同理可得，第二次B扔球、A接球后兩球的速度，總結規律得到n次扔球、接球后兩球的速度υ_An和υ_Bn．要使A、B不相撞且扔球次數最少，應滿足υ_An=υ_Bn，即可得到滿足A、B不相撞所需的最少扔球的次數．
（3）分段作兩個滑冰者的速度隨時間變化的υ-t圖線．

解答：解：（1）取水平向右為正方向，第一次A扔球、B接球，設A扔球后速度為，B接球后速度為，由動量守恒定律有
：A扔球過程，有：mυ_A=mυ_A1+p               
解得：υ_A1=υ_A-

p

m

B接球過程，有：-mυ_B+p=mυ_B1
解得：υ_B1=-υ_B+

p

m

（2）第二次B扔球、A接球，設B扔球后速度為υ_B2，A接球后速度為υ_A2，則由動量守恒定律：
mυ_B1=mυ_B2-p
解得：υ_B2=υ_B1+

p

m

=-υ_B+

2p

m

mυ_A1-p=mυ_A2
解得：υ_A2=υ_A1-

p

m

=υ_A-

2p

m

設n次扔球、接球后．A的速度為υ_An，B的速度為υ_Bn，則由上述推理可得：
υ_An=υ_A-

np

m

          
υ_Bn=-υ_B+

nP

m

要使A、B不相撞且扔球次數最少，應滿足：υ_An=υ_Bn
因此，滿足A、B不相撞所需的最少扔球次數為：n=

m(vA+vB)

2p

討論：
①當

m(vA+vB)

2p

為整數時，n取

m(vA+vB)

2p

；
②當

m(vA+vB)

2p

不為整數時，取

m(vA+vB)

2p

+1
（3）如圖所示

答：（1）滑冰者B第一次把球接到手中時A、B的速度分別為υ_A-

p

m

和-υ_B+

p

m

；
（2）從A開始扔球算起，球在A、B之間至少被扔出

m(vA+vB)

2p

或

m(vA+vB)

2p

+1次才可以避免兩個滑冰者相撞．
（3）A、B兩個滑冰者的速度隨時間變化的υ-t圖線如圖所示．

點評：解決本題的關鍵掌握動量守恒定律的條件，合理選擇研究的過程，采用歸納法運用動量守恒定律進行求解．