Question

【題目】設想人類在某一 X 行星發射了兩顆質量均為 m 的“人造 X 星衛星”，行星可以看做質量 M、半徑 R 的均勻球體，甲乙兩顆衛星的軌道半徑分別為 2R 和 3R，在同一平面內，運行方向相同，不計兩衛星之 間的萬有引力，萬有引力常量為 G。

(1)試求甲乙兩衛星各自的周期；

(2)若某時刻兩衛星與行星中心正好在一條直線上，最短經過多長時間，三者正好又在一條直線上?

(3)如果將兩顆衛星用輕而結實的繩連接并且給以合適的速度，它們將可以一起繞行星運動且與行星中心始 終在一條直線上，求此情況下兩顆衛星的運動周期。

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

（1）衛星做圓周運動的向心力等于X星的萬有引力，則對甲：

解得；

對乙：

解得；

（2）當三者正好又在一條直線上時需要的最短時間滿足：，

解得

（3）設繩的拉力為F，則對甲： ；

對衛星乙：

聯立解得.