Question

【題目】如圖所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓軌道在B點(diǎn)平滑連接。在過圓心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強(qiáng)電場。現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為＋q的小球從水平軌道上A點(diǎn)由靜止釋放，小球運(yùn)動到C點(diǎn)離開圓軌道后，經(jīng)界面MN上的P點(diǎn)進(jìn)入電場(P點(diǎn)恰好在A點(diǎn)的正上方，如圖所示。小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球運(yùn)動到C點(diǎn)之前電荷量保持不變，經(jīng)過C點(diǎn)后電荷量立即變?yōu)榱?。已知A、B間距離為2R，重力加速度為g。在上述運(yùn)動過程中，求

(1)電場強(qiáng)度E的大小；

(2)小球在圓軌道上運(yùn)動時的最大速率

(3) 小球?qū)�圓軌道的最大壓力的大小

Answer 1

【答案】（1）E=；（2）；（3）F=（2+3）mg

【解析】

（1）設(shè)電場強(qiáng)度為E，小球從A到C由動能定理：

qE3Rmg2R=mvc2，

小球過C點(diǎn)時速度大小為vc，小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動到P點(diǎn)：

R= gt2，

2R=vct

聯(lián)立解得：E=，即電場強(qiáng)度E的大小為；

（2）設(shè)小球運(yùn)動到圓周D點(diǎn)時速度最大為v，此時OD與豎直線OB夾角為α，小球從A運(yùn)動到D過程，根據(jù)動能定理：

qE(2R+Rsinα)-mgR(1-cosα)=mv2，

即：mv2=mgR(sinα+cosα+1)

根據(jù)數(shù)學(xué)知識可得，當(dāng)α=45°時動能最大，

由此可得：，

即小球在圓軌道上運(yùn)動時的最大速率為。

(3)由于小球在D點(diǎn)時速度最大且電場力與重力的合力恰好沿半徑方向，故小球在D點(diǎn)對圓軌道的壓力最大，

設(shè)此壓力大小為F，由牛頓第三定律可知小球在D點(diǎn)受到的軌道彈力大小也為F，在D點(diǎn)對小球進(jìn)行受力分析，并建立如圖所示坐標(biāo)系

由牛頓第二定律：

FqEsinαmgcosα=

解得：F=（2+3）mg

即小球?qū)�圓軌道的最大壓力的大小（2+3）mg.