Question

已知數列滿足，且對任意非負整數均有：.

（1）求；

（2）求證：數列是等差數列，并求的通項；

（3）令，求證：.

 

Answer 1

【答案】

：（1），；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）對m、n賦值，想方設法將條件變出.為了得到，顯然令m=n即可.

為了得到，令m=1，n＝0即可.

（2）首先要想辦法得相鄰兩項（三項也可）間的遞推關系.

要證數列是等差數列，只需證明為常數即可.

（3）數列中有關和的不等式的證明一般有以下兩種方向，一是先求和后放縮，二是先放縮后求和.在本題中，易得，∴

這是典型的用裂項法求和的題.故先求出和來，然后再用放縮法證明不等式.

試題解析：（1）令得，          1分

令，得，∴        3分

（2）令，得：

∴，又，

∴數列是以2為首項，2為公差的等差數列.

∴

∴

∴            9分

（3）∴

∴    13分

考點：1、遞推數列；2、等差數列；3、不等式的證明.