Question

10．如圖所示，豎直放置的平行金屬板A、B，板間距離為L，板長為2L，A板內側中央O處有一個體積不計的放射源，在紙面內向A板右方均勻地以等大的速率朝各個方向輻射正離子，離子質量m=8.0×10^-26kg，離子電荷量q=8.0×10^-19C，離子的速率v₀=2.0×10⁵m/s，不計極板邊緣處及離子重力的影響，則：
（1）若U_AB=0，則打到B板上的離子占總離子數的幾分之幾？
（2）若使所有離子都能打到B板，則U_AB至少為多大？
（3）若使所有離子都不能打到B板，則U_BA至少為多大？
（4）若打到B板的離子只占總離子數的$\frac{37}{90}$，則U_BA是多大？（已知sin37°=$\frac{3}{5}$）

Answer 1

分析 （1）放射源在紙面內向A板右方均勻地以等大的速率朝各個方向輻射正離子，所以向某一方向輻射的離子數與此方向的夾角成正比． 由幾何關系求出放射源與AB所成的夾角，此夾角占離子源輻射角180°的比例就是打到B板上的離子數點總離子的比例．
（2）考慮臨界情況，沿平行于極板方向射出的離子做類平拋運動剛好打到B點，由類平拋運動規律求出加速度，從而求出了極板間的電壓．
（3）考慮特殊情況，若垂直于極板方向的離子做勻減速直線運動恰恰到達B板速度為零，由動能定理求出電壓．
（4）已知了離子數的占比，則已知了輻射角點平角的比例，也就是已知了離子初速度方向與極板的夾角，此時離子做斜拋運動，由斜拋運動的規律就能求出極板間的電壓．

解答 解（1U_AB=0，離子做勻速直線運動，O點與板兩端連線的夾角：$θ=2arctan\frac{L}{L}=90°$  
   打到B板上的離子占總離子數的比值：$\frac{N}{{N}_{總}}=\frac{θ}{180°}=\frac{90°}{180°}=\frac{1}{2}$   
（2）若平行于A板的離子能夠打到B板，則所有離子都能打到B板
   豎直方向：L=v₀t  
   水平方向：$L=\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{AB}}{mL}{t}^{2}$
   聯立以上兩式，代入數據解得：U_AB=8000V．
（3）若垂直于A板的離子不能夠打到B板，則所有離子都不能夠打到B板，
  由動能定理得：$q{U}_{BA}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$   
  代入數據解得：U_BA=2000V 
（4）設剛好能夠打到B板邊緣的離子速度方向與水平方向的夾角為α
   $\frac{N}{{N}_{總}}=\frac{θ}{90°}=\frac{37}{90}$，所以θ=37°
   豎直方向：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}sinθ}$
  水平方向：$L={v}_{0}cosθ•t-\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{BA}}{mL}{t}^{2}$
  解得：U_BA=960V 
答：（1）若U_AB=0，則打到B板上的離子占總離子數的二分之一．
（2）若使所有離子都能打到B板，則U_AB至少為8000V．
（3）若使所有離子都不能打到B板，則U_BA至少為2000V．
（4）若打到B板的離子只占總離子數的$\frac{37}{90}$，則U_BA是960V．

點評 本題關鍵點在于：一是打到某一方向的離子數占比應與此方向的輻射角成正比；二是此題考察了幾個特殊情況，沿平行于極板方向射出的離子做類平拋運動、沿垂直于極板方向的離子做勻減速直線運動，這兩種情況是臨界狀態，從而求出電壓的最小值．