Question

如圖（1）所示，
兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為0.8m，導軌平面與水平面夾角為α，導軌電阻不計．有一個勻強磁場垂直導軌平面斜向上，長為1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌電接觸良好，金屬棒的質量為0.1kg、與導軌接觸端間電阻為1Ω．兩金屬導軌的上端連接右端電路，電路中R₂為一電阻箱．已知燈泡的電阻R_L=4Ω，定值電阻R₁=2Ω，調節電阻箱使R₂=12Ω，重力加速度g=10m/s²．將電鍵S打開，金屬棒由靜止釋放，1s后閉合電鍵，如圖（2）所示為金屬棒的速度隨時間變化的圖象．求：
（1）斜面傾角α及磁感應強度B的大小；
（2）若金屬棒下滑距離為60m時速度恰達到最大，求金屬棒由靜止開始下滑100m的過程中，整個電路產生的電熱；
（3）改變電阻箱R₂的值，當R₂為何值時，金屬棒勻速下滑時R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析：（1）電鍵S打開，ab棒做勻加速直線運動，由速度圖象求出加速度，由牛頓第二定律求解斜面的傾角α．開關閉合后，導體棒最終做勻速直線運動，由F_安=BIL，I=

BLvm

R總

得到安培力表達式，由重力的分力mgsinα=F_安，求出磁感應強度B．
（2）金屬棒由靜止開始下滑100m的過程中，重力勢能減小mgSsinα，轉化為金屬棒的動能和整個電路產生的電熱，由能量守恒求解電熱．
（3）改變電阻箱R₂的值后，由金屬棒ab勻速運動，得到干路中電流表達式，推導出R₂消耗的功率與R₂的關系式，根據數學知識求解R₂消耗的最大功率．

解答：解：（1）電鍵S打開，從圖上得：a=gsinα=

△v

△t

=5m/s²
得 sinα=

1

2

，則得α=30°
金屬棒勻速下滑時速度最大，此時棒所受的安培力F_安=BIL，
又 I=

BLvm

R總

，R總=Rab+R1+

R2RL

R2+RL

=(1+2+

4×12

4+12

)Ω=6Ω，
從圖上得：v_m=18.75m/s，
由平衡條件得：mgsinα=F_安，所以mgsinα=

B2L2vm

R總

得：B=

mgsinα?R總 Vm?L2

=

0.1×10× 1 2 ×6 18.75×0.82

T=0.5T；         
（2）由動能定理：mg?S?sinα-Q=

1

2

mvm2-0
得  Q=mg?S?sinα-

1

2

mvm2=32.42J；                            
（3）改變電阻箱R₂的值后，金屬棒勻速下滑時的速度為v_m′，則有
mgsinα=BI_總L，R并′=

R2RL

R2+RL

=(

4R2

4+R2

)Ω，
R₂消耗的功率：P₂=

U 2 并

R2

=

(I總R并′)2

R2

=

( mgsinα BL ?R并′)2

R2

=(

mgsinα

BL

)2?

( 4R2 4+R2 )2

R2

=(

mgsinα

BL

)2×

16R2

16+8R2+R22

=(

mgsinα

BL

)2×

16

16 R2 +8+R2

當R₂=4Ω時，R₂消耗的功率最大：
P_2m=(

mgsinα

BL

)2×

16

16 R2 +8+R2

=

25

16

W=1.5625W．              
答：
（1）斜面傾角α是30°，磁感應強度B的大小是0.5T；
（2）若金屬棒下滑距離為60m時速度恰達到最大，金屬棒由靜止開始下滑100m的過程中，整個電路產生的電熱是32.42J；
（3）改變電阻箱R₂的值，當R₂為4Ω時，金屬棒勻速下滑時R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率為1.5625W．

點評：本題是電磁感應中的力學問題，由速度圖象求得加速度，推導安培力與速度的表達式是關鍵步驟，難點是運用數學知識分析R₂消耗的功率何時最大．