Question

（1）試由萬有引力定律推導：繞地球做圓周運動的人造衛星的周期T跟它軌道半徑r的3/2次方成正比．
（2）A、B兩顆人造衛星的繞地球做圓周運動，它們的圓軌道在同一平面內，周期之比是

T1

T2

=

3 3

2 2

．若兩顆衛星的最近距離等于地球半徑R，求這兩顆衛星的周期各是多少？從兩顆衛星相距最近開始計時到兩顆衛星相距最遠至少經過多少時間？已知在地面附近繞地球做圓周運動的衛星周期為T₀．

Answer 1

分析：（1）根據地球對人造衛星的萬有引力提供向心力列式求解；
（2）根據第一問的結論求解出軌道半徑之比，得到半徑后進一步求解出A、B衛星的周期，最后根據相對運動求解從兩顆衛星相距最近開始計時到兩顆衛星相距最遠的時間．

解答：解：（1）人造衛星繞地球做圓周運動，萬有引力充當向心力：
G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r
解得：T=

2π

GM

r

3

2

地球質量M是常量，因此人造衛星繞地球運動的周期T與其軌道半徑r的

3

2

次方成正比．
（2）設B衛星軌道半徑為r₂，則A衛星軌道半徑為r₁=r₂+R

T1

T2

=

(r2+R) 3 2

r 3 2 2

=

3 3

2 2

     ①
解得r₂=2R，r₁=3R
可得：

T1

T0

=

r 3 2 1

R 3 2

=3

3

T2

T0

=

r 3 2 2

R 3 2

=2

2

T₁=3

3

T0
T₂=2

2

T0
設A、B兩衛星從相距最近開始經過時間t第一次達相距最遠，有
（

2π

T2

-

2π

T1

）t=π   ②
解得時間t=

3 6 T0

3 3 -2 2

≈3.1T₀
答：（1）證明如上；
（2）這兩顆衛星的周期分別是3

3

T0、2

2

T0；從兩顆衛星相距最近開始計時到兩顆衛星相距最遠至少經過3.1T₀．

點評：本題關鍵根據衛星的萬有引力充當向心力列式求解出周期以半徑的關系，然后運用該關系式分析第二問，不難．