Question

如圖所示，abc是光滑的軌道，其中ab是水平的，bc為豎直平面內的半圓且與ab相切，半徑R=0.3m．質量m=0.5kg的小球A靜止在軌道上，另一個質量M=1.0kg的小球B，以速度v₀=6.5m/s與小球A正碰．已知碰撞后小球A經過半圓的最高點c落到軌道上距b點為L=4

2

R處，g取10m/s²，求：
（1）碰撞結束時小球A和B的速度大小；
（2）A球在c點對軌道的壓力；
（3）論證小球B能否沿半圓軌道到達c點．

Answer 1

分析：（1）根據平拋運動的規律，求出A球在c點的速度，根據機械能守恒定律求出A球碰后的速度，再根據動量守恒定律求出B球碰后的速度．
（2）以A球為研究對象，在c點，由重力和軌道的壓力的合力提供A球的向心力，根據牛頓第二定律求出軌道對A球的壓力，再由牛頓第三定律求A球對軌道的壓力．
（3）根據機械能守恒定律求出B球到底最高點的速度，再根據牛頓第二定律求出最高點的最小速度，然后進行比較，判斷能否到達最高點c．

解答：解：（1）設球A在c點的速度為v，A球離開c點后做平拋運動，根據平拋運動規律有
水平方向，有   vt=L=4

2

R         
豎直方向，有   2R=

1

2

gt2
解得：v=

8Rg

設A碰后速度為v_A，由機械能守恒定律有

1

2

mvA2=

1

2

mv2+mg2R                   
得：v_A=

12gR

=6m/s                     
由動量守恒定律有
  Mv₀=mv_A+Mv_B                      
得v_B=

Mv0-mvA

M

=3.5m/s                
（2）由牛頓第二定律有
  N+mg=m

v2

R

得：N=

mv2

R

-mg=35N                 
由牛頓第三定律知A球對軌道的壓力大小為35N，方向豎直向上．
（3）若B恰能到達c點，則c點的速度v_c滿足：
Mg=M

vc2

R

，得 v_c=

gR

B在最低點的最小速度v_B′滿足：

1

2

MvB2=

1

2

Mvc2+Mg2R
解得  v_B′=

5gR

=

15

m/s     
而由第（1）問中求出的B碰后的速度v_B=3.5m/s＜

15

所以B不能沿半圓軌道到達c點．                     
答：
（1）碰撞結束時，小球A和B的速度大小分別為6m/s、3.5m/s．
（2）A球在c點對軌道的壓力是35N．
（3）小球B不能達到半圓軌道的c點．

點評：本題考查了動量守恒定律、機械能守恒定律、牛頓第二定律等規律，綜合性較強，需在平時的學習中加強訓練，提高自己的解題能力．