Question

（14分）如圖裝置，AB段為傾角為37°的粗糙斜面，動摩擦因數μ₁為0.25，BC、CE段光滑，CD為一光滑的圓形軌道，半徑R="0." 32m，物體在C點能順利進出圓形軌道而不損失機械能。EF為一逆時針勻速轉動的足夠長的傳送帶，動摩擦因數μ₂為0.2。現從AB面上距地面H處輕輕放上一質量m=1kg的小物塊（視為質點）。物塊經過CD軌道后滑向傳送帶。取，sin37⁰=0.6,cos37⁰=0.8。

1、現將物體從H=2.7m處釋放，求①第一次經過B點時的速度大小，②第一次經過D點時軌道對物塊的壓力大小。
2、若傳送帶的速度為v=5m/s。物體仍從H=2.7m處釋放，試計算說明物體能否兩次通過最高點D？若能通過，請計算第二次通過最高點D點時軌道對物塊的壓力大小。
3、若傳送帶速度大小可在釋放物塊前預先調節。將物體從H=2.7m處釋放，從釋放到第二次進入圓軌道過程的過程中，試分析物塊和各接觸面摩擦至少要產生多少熱量才能保證物體能夠兩次到達D點？
4、現將傳送帶速度調節至一足夠大速度值，將物體從AB某處釋放后，第10次進入圓軌道時仍不脫離圓軌道，試分析釋放物塊的高度有何要求？

Answer 1

(1)6m/s， 62.5N （2）28.125N （3）59J   （4）和.

試題分析：（1）物體由H處下落到達B端，由動能定理：


物體運動到由B運動到D點：
D點有：
得：N₁=62.5N
（2）物體若能通過D點在水平面處的最小速度為v₀，則由動能定理：

得：
物體上傳送帶時速度為6m/s,上傳送帶后先減速為0，再反向加速。5m/s<6m/s,則反向時E點的速度v_E=5m/s。由5m/s>4m/s,物體能夠到達D點。
物體運動到由E運動到D點：
D點有：

(3)物體運動若要第二次到達D點，從傳送帶上返回E點時，速度至少為4m/s,則傳送帶的速度至少為4m/s.
物體滑上傳送帶后的運動圖像可由下圖表示

由圖像可知傳送帶速度越小，兩者的相對位移（圖中陰影的面積）越小。綜合以上分析傳送帶的速度為4m/s時，在傳送帶上放熱最少。而在斜面上運動時，摩擦放熱為定值。綜上所述：
在斜面上摩擦放熱：
物體在傳送帶上運動：
則摩擦總共放熱：Q=59J
(4)物體不脫離圓形軌道的情形有兩種，一種是全部通過最高點D，一種是滑塊滑到CD軌道的圓心高度以下。由第（3）問圖像可以知道，傳送帶速度足夠大，物體無論以什么樣的速度滑上傳送帶，返回的速度均等于滑上傳送帶時的速度，物體的機械能的損失相當于全部發生在斜面上。
①物體10次都過D點
設某次滑上斜面時初速度為v₀,滑上后又滑下的速度為v_1,,根據能量守恒定律有：（1）
 （2）
（1）（2）聯立得：
即每次滑上斜面再滑下斜面后，動能變為原來的1/2,數列為等比數列.
第十次開始滑上D點時，等于經過EC滑上圓軌道的速度，最小值為v₁₀=4m/s,所以,則物體第一次沖上斜面的速度為v₁,，v₁=16m/s，也就是第一次滑動B點的速度
此時由釋放點到B點動能定理：
得H₁=19.2m
則釋放的最小高度為19.2m
②物體最高到達CD圓心高度，則由動能定理：

得H₂=0.24m
討論：下面討論物體是否存在能夠在一次經過D點，經過斜面滑上滑下后到達不了CD圓心高度。
由于通過最高點機械能至少為，經過一次滑上滑下斜面后，物體上圓軌道時機械能變為原來一半，則。故不可能出現經過D點后下一次沖不到圓心高度的情況。
綜上所述：和