Question

如圖所示，A、B為一對平行板，板長為L，兩板距離為d，板間區域內充滿著勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直紙面向里，一個質量為m，帶電量為+q的帶電粒子自靜止開始經M、N兩平行金屬板間的電場加速后，從A、B兩板的中間沿垂直于磁感線的方向射入磁場．（不計粒子的重力）求：
（1）若粒子的初速度為0，M、N兩板間的電壓為U，求射出電場時粒子的速度？
（2）粒子以上述速度射入勻強磁場后做圓周運動的半徑是多大？
（3）MN兩極板間的電壓U應在什么范圍內，粒子才能從磁場內射出？

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求速度．
（2）粒子在磁場中做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出半徑，
（3）當粒子從平行板左邊射出時，最大半徑為r₁=

d

4

，粒子從左邊射出必須滿足r≤r₁．當粒子恰好從平行板右邊射出時，由幾何知識半徑r₂，即為粒子從右邊射出時運動軌跡最小半徑．由半徑公式和動能定理求解電壓的范圍．

解答：解：①由動能定理得：qU=

1

2

mV2
解得：v=

2qu m

②進入磁場后洛倫茲力充當向心力：
qVB=m

V2

R

解得：R=

1

B

2mu q

③當粒子從平行板左邊射出時，最大半徑為r₁=

d

4

，粒子從左邊射出必須滿足r≤r₁．
即：

d

4

≥

1

B

2mu q

，解得：U＜

qB2d2

32m

當粒子恰好從平行板右邊射出時，由幾何知識知半徑
r₂=

L2+(r2-d)2

 
r₂≤R
R=

1

B

2mu q

聯立得：U＞

qB2(d2+4l2)2

32md2

答：（1）若粒子的初速度為0，M、N兩板間的電壓為U，射出電場時粒子的速度v=

2qu m

（2）粒子以上述速度射入勻強磁場后做圓周運動的半徑是

1

B

2mu q

（3）MN兩極板間的電壓

qB2d2

32m

＞U＞

qB2(d2+4l2)2

32md2

范圍內，粒子才能從磁場內射出．

點評：本題關鍵應用幾何知識兩種臨界情況情況下，粒子圓周運動的半徑，這是粒子在磁場中勻速圓周運動問題常用的方法．