Question

如圖所示，間距為L的兩條足夠長的平行金屬導軌MN，PQ與水平面夾角為a，導軌的電阻不計，導軌的N、P端連接一阻值為R的電阻，導軌置于磁感應強度大小為B、方向與導軌平面垂直的勻強磁場中．將一根質量為m、電阻為r的導體棒垂直放在導軌上，導體棒ab恰能保持靜止．現給導體棒一個大小為v₀、方向沿導軌平面向下的初速度，然后任其運動，導體棒在運動過程中始終保持與導軌垂直并接觸良好．設導體棒所受滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小相等，求：
（1）導體棒與導軌間的動摩擦因數μ；
（2）在整個運動過程中電阻R上產生的焦耳熱；
（3）導體棒在導軌上移動的最大距離．

Answer 1

分析：（1）由于導體棒剛能在導軌上保持靜止，根據導軌處于平衡狀態，可正確求解．
（2）由于重力沿導軌向下的分力等于摩擦力，因此導體棒在安培力作用下減速運動，克服安培力做功為整個回路中產生的焦耳熱，然后根據電阻的串聯可求出R上產生的焦耳熱．
（3）本問有一定的難度，由于導體棒做加速度逐漸減小的減速運動，其加速度是變化的，因此不能用勻變速運動知識解答，可以通過微積分思想進行解答，如在極短的時間內安培力可以認為不變，利用動量定理列方程，然后根據數學知識求解．

解答：解：（1）導體棒處于平衡狀態，由受力平衡得
mgsinα=μmgcosα      ①
解得動摩擦因數：μ=tanα    ②
故導體棒與導軌間的動摩擦因數μ=tanα．
（2）導體棒在安培力作用下減速運動，最后靜止在導軌上，且摩擦力所做的功和重力所做的功相等，故由能量守恒定律得整個電路中的焦耳熱
Q=

1

2

m

v

2 0

    ③
由電路知識得電阻r和R串聯電流時刻相等，故電阻R上的熱量
QR=

R

R+r

Q=

mR v 2 0

2(R+r)

   ④
故在整個運動過程中電阻R上產生的焦耳熱為：QR=

mR v 2 0

2(R+r)

．
（3）設導體棒在減速中的某一時刻速度為υ，取一極短時間△t，發生了一段極小的位移△x，在△t時間內，磁通量的變化量為△Φ，則有：
△Φ=BL△x   ⑤
電路中的電流：I=

E

r+R

=

△Φ

(R+r)△t

   ⑥
導體棒受到的安培力：F=BIL   ⑦
△t很小，則安培力為恒力，選沿斜面方向為正方向，由動量定理
-F△t=m△v   ⑧
聯立⑤⑥⑦⑧解得：-

B2L2△x

(R+r)

=m△v    ⑨
對⑨式兩邊求和有：∑( -

B2L2△x

(R+r)

) =∑(m△v)   ⑩
解得導體棒下滑的總距離：x=∑△x=

m(R+r)

B2L2

∑△v=

mv0(R+r)

B2L2

故導體棒在導軌上移動的最大距離為：x=

mv0(R+r)

B2L2

．

點評：注意克服安培力做功為整個回路中產生的熱量；本題的難點在于第（3）問，方法巧妙，在平時練習中一定注意數學知識在物理中的應用．