Question

如圖所示，平板車長L=6.0m，質量M=10kg，將其置于光滑水平面上，車的上表面距水平面h=1.25m．平板車在光滑水平面上以v₀=10m/s向右做勻速直線運動，某時刻對平板車施加一個方向水平向左、大小F₁=78N的恒力，與此同時，將一個質量m=1.0kg的木塊輕放在平板車右端．F₁作用1.0s后，將力的大小改為F₂=422N（作用位置和施力方向均不變）．F₂作用一段時間后，木塊脫離平板車落到平面上，在木塊脫離平板車的瞬間撤去F₂．已知平板車與木塊間的動摩擦因數μ=0.20，木塊可視為質點，空氣阻力可忽略不計．求：
（1）木塊從離開平板車至落到水平面上所用的時間；
（2）在F₁作用的時間內，摩擦力對平板車做的功；
（3）木塊落到水平面上時距離平板車右端的水平距離．

Answer 1

解：（1）木塊離開平板車后，只受重力，在豎直方向做初速為零的勻加速直線運動，設從木塊離開平板車開始至落到光滑水平面上所用的時間為t，則有h=gt²
解得：t==0.50 s　　　　
（2）木塊放到平板車右端后，木塊和平板車沿水平方向受力情況如答圖所示．

設此時平板車的加速度為a₁，木塊的加速度為a₂根據牛頓第二定律，
對平板車與F₁+μmg=Ma₁
對木塊有μmg=ma₂
解得：a₁=8.0 m/s²；a₂=2.0 m/s²　　　　
設將木塊放到平板車右端后經過t₁時間木塊和平板車達到共同速度，
則有v₀-a₁t₁=a₁t₁，
解得：t₁=1.0 s
此時間剛好是F₁作用的時間，設在這段時間內平板車的位移為x₁
則x₁=v₀t₁-a₁t²，解得：x₁=6.0 m　　　　
在F₁作用的時間內摩擦力對平板車做的功
W=-μmgx₁=-0.20×1.0×10×6.0 J=-120J　　　
（3）在F₁作用的時間內木塊的位移為x₂=a₂t²=1.0 m
10 s末木塊距離平板車右端的距離△x=L-x₂=5.0 m，如答圖所示．

10s末平板車和木塊具有相同的速度v=a₂t₁=2.0m/s
F₂開始作用后，木塊的平板車沿水平方向受力的情況如答圖所示．

木塊做減速運動，其加速度大小不變，方向改變．
設此時平板車的加速度為a₃
根據牛頓第二定律，對平板車有F₂-μmg=Ma₃
解得：a₃=42 m/s²
設木塊在速度減為零時，木塊、平板車的位移分別為x₃、x₄，取水平向右的方向為正方向．
x₃=v²/2a₂=1.0 m，木塊速度減為零所用時間t₂==1.0 s
所以x₄=vt₂-a₃t²=-19 m
因|x₄|＞△x說明木塊在速度減為零之前已經從平板車的右端脫離．
在F₂作用t₃時間木塊與平板車脫離，在這個過程中木塊、平板車的位移分別為x₅、x₆，
木塊的位移x₅=vt₃-a₂t²
平板車的位移x₆=vt₃-a₃ t²
由答圖所示的幾何關系可知x₅+|x₆|=△x，由此解得：t₃=0.50 s　　　　

木塊離開平板車瞬間的速度v₁=v-a₂t₃=1.0 m/s
木塊離開平板車后水平位移x₇=v₁t=0.50 m
木塊離開平板車的瞬間平板車的速度v₂=v-a₃t₃=-19 m/s
木塊離開平板車后平板車水平位移x₈=v₂t=-9.5 m
木塊落到水平面上時距離平板車右端的水平距離x=x₇+|x₈|=10 m　　　
答：（1）木塊從離開平板車至落到水平面上所用的時間為0.50s．
（2）在F₁作用的時間內，摩擦力對平板車做的功為120J．
（3）木塊落到水平面上時距離平板車右端的水平距離為10m．
分析：（1）木塊離開小車后在豎直方向上做自由落體運動，根據高度求出運動的時間．
（2）根據牛頓第二定律分別求出木塊和平板車的加速度，判斷出在1s內木塊和小車的運動情況，結合運動學公式求出在在F₁作用的時間內，平板車的位移，從而求出摩擦力對平板車做的功．
（3）根據運動學公式，結合牛頓第二定律求出F₁作用的時間內木塊的位移，以及木塊距離平板車右端的距離．將力的大小改為F₂=422N（作用位置和施力方向均不變）．判斷出平板車和木塊的運動情況，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．
點評：解決本題的關鍵理清木塊和平板車的運動過程，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．