Question

7．如圖所示，在x軸上方存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在x軸上的S點由一粒子發射源，不定時的發射沿與x軸負方向成30°角的質量為m電荷量為-q的粒子a和沿與x軸正方向成60°角的質量也為m、電荷量為+q的粒子b．已知粒子a的速度為v_a=v₀，粒子b的速度為v_b=$\sqrt{3}{v_0}$，忽略兩粒子的重力以及兩粒子間的相互作用，求：
（1）要使兩粒子在磁場中發生碰撞，則兩粒子釋放的時間間隔△T；
（2）如果兩粒子在磁場中不相碰，則兩粒子進入磁場后第一次經過x軸時兩點之間的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，根據洛倫茲力作為向心力，計算運動的時間；
（2）根據洛倫茲力提供向心力，計算圓周運動的半徑的大小，從而得出距離的大小．

解答 解：（1）如圖所示，假設兩粒子在磁場中的P點發生碰撞，兩粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，軌跡如圖所示
設a粒子做圓周運動的半徑為r，則b粒子做圓周運動的半徑為$\sqrt{3}r$
根據幾何關系可得a、b粒子在圓心相距為2r
圓弧SP在a粒子圓周上對應的圓心角為120°
圓弧SP在b粒子圓周上對應的圓心角為60°
兩粒子運動周期相同，故要使兩粒子相碰，釋放的時間間隔應為：$△T=\frac{1}{6}T=\frac{πm}{3Bq}$
（2）兩粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動
根據洛倫茲力提供向心力有$qvB=m\frac{v^2}{r}$，則$r=\frac{mv}{Bq}$
粒子a做圓周運動對應的圓心角${θ_a}=\frac{5π}{3}$，對應的弦SM=2rsin30°
粒子b做圓周運動對應的圓心角${θ_b}=\frac{4π}{3}$，對應的弦$SN=2\sqrt{3}sin60°$
聯立得：$d=SM+SN=\frac{{4m{v_0}}}{qB}$
答：（1）要使兩粒子在磁場中發生碰撞，則兩粒子釋放的時間間隔△T為$\frac{πm}{3Bq}$；
（2）如果兩粒子在磁場中不相碰，則兩粒子進入磁場后第一次經過x軸時兩點之間的距離為$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$．

點評 求帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的時間，常常根據t=$\frac{θ}{2π}$T，θ是軌跡的圓心角，根據幾何知識，軌跡的圓心角等于速度的偏向角．