Question

16．如圖所示，質量為M的半球面靜止在水平地面上，質量為m的小物塊在半球面上處于平衡狀態，小物塊與一輕彈簧連接，彈簧的上端固定于墻上的O點．已知小物塊與球心O'的連線與豎直方向成θ=45°角，彈簧的勁度系數為k，其與豎直方向的夾角也為θ．若小物塊與球面之間剛好沒有相對運動的趨勢，求：
（1）彈簧的伸長量；
（2）球面所受地面的支持．

Answer 1

分析 （1）小物塊與球面之間剛好沒有相對運動的趨勢，摩擦力為零，對小物塊受力分析，根據平衡條件結合胡克定律列式求解即可；
（2）對整體受力分析，根據平衡條件列式求解即可．

解答 解：（1）對小物塊受力分析：摩擦力為零，支持力N、彈簧的拉力T和重力G三力平衡，如圖所示：
$N=T=\frac{\sqrt{2}mg}{2}$
設彈簧伸長量為△x，則：T=k△x
解得：$△x=\frac{\sqrt{2}mg}{2k}$
（2）設地面的支持力和摩擦力分別為F_N和f，對整體受力分析，

根據平衡條件得：
Tsinθ=f，
Tcosθ+F_N=（M+m）g
解得：$f=\frac{1}{2}mg$，方向水平向左，
${F}_{N}=Mg+\frac{1}{2}mg$，方向豎直向上．
答：（1）彈簧的伸長量為$\frac{\sqrt{2}mg}{2k}$；
（2）球面所受地面的支持力大小為$Mg+\frac{1}{2}mg$，方向豎直向上．

點評 本題主要考查了共點力平衡條件的直接應用，要求同學們能正確對物體進行受力分析，注意整體法和隔離法在解題中的應用，難度適中．