Question

某課外科技小組長期進行天文觀測，發現某行星周圍有眾多小衛星，這些小衛星靠近行雖且分布相對均勻，經查對相關資料，該行星的質量為M．現假設所有衛星繞該行星的運動都是勻速圓周運動，已知萬有引力常量為G．
（1）測得離行星最近的一顆衛星的運動軌道半徑為R₁，若忽略其它小衛星對該衛星的影響，求該衛星的運行速度V₁
（2）在進一步的觀測中，發現離行覓很遠處還有一顆衛星，其運動軌道半徑為R₂，周期為T₂試估算靠近行星周圍眾多小衛星的總質量m_衛．

Answer 1

分析：研究衛星繞行星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出該衛星的運行速度．
由于靠近行星周圍的眾多衛星分布均勻，可以把行星及靠近行星的小衛星看作一星體，其質量中心在行星的中心，根據萬有引力提供向心力列出等式求解．

解答：解：（1）設離行星最近的一顆衛星的質量為m₁，根據萬有引力提供向心力有：

GMm1

R 2 1

=

m1v 2 1

R1

解得：v₁=

GM R1

（2）由于靠近行星周圍的眾多衛星分布均勻，可以把行星及靠近行星的小衛星看作一星體，其質量中心在行星的中心，
設離行星很遠的衛星質量為m₂，根據萬有引力提供向心力則有：

G(M+m衛)m2

R 2 2

=

m2R2?4π2

T 2 2

解得：m_衛=

4π2R 3 2

GT 2 2

-M
答：（1）該衛星的運行速度是

GM R1

．
（2）靠近行星周圍眾多小衛星的總質量是

4π2R 3 2

GT 2 2

-M

點評：本題考查了萬有引力在天體中的應用，解題的關鍵在于找出向心力的來源，并能列出等式解題．
向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．