Question

如圖甲所示的控制電子運動裝置由偏轉電場、偏轉磁場組成．偏轉電場處在加有電壓U、相距為d的兩塊水平平行放置的導體板之間，勻強磁場水平寬度一定，豎直長度足夠大，其緊靠偏轉電場的右邊．大量電子以相同初速度連續不斷地沿兩板正中間虛線的方向向右射入導體板之間．當兩板間沒有加電壓時，這些電子通過兩板之間的時間為2t₀；當兩板間加上圖乙所示的電壓U時，所有電子均能通過電場、穿過磁場，最后打在豎直放置的熒光屏上．已知電子的質量為m、電荷量為e，不計電子的重力及電子間的相互作用，電壓U的最大值為U₀，磁場的磁感應強度大小為B、方向水平且垂直紙面向里．
（1）如果電子在t=t₀時刻進入兩板間，求它離開偏轉電場時豎直分位移的大小．
（2）要使電子在t=0時刻進入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強磁場的水平寬度l為多少？
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為多少？

Answer 1

分析：沒有電場時電子在平行板間勻速直線運動，有電場時電子做類平拋運動，根據幾何關系求解．

解答：解：（1）電子在t=t₀時刻進入兩板間，先做勻速運動，后做類平拋運動
在2t₀～3t₀時間內發生偏轉y=

1

2

a

t

2 0

=

1

2

eE

m

t

2 0

=

1

2

×

eU0

md

×

t

2 0

=

eU0 t 2 0

2md

（2）設電子從電場中射出的偏向角為θ，速度為v，如圖所示：

則：
vy=at0=

eU0t0

md

sinθ=

vy

v

=

eU0t0

mdv

電子通過勻強磁場并能垂直打在熒光屏上，設其圓周運動的半徑為R
根據牛頓第二定律有evB=m

v2

R

根據幾何關系得：sinθ=

l

R

得水平寬度l=

U0t0

Bd

（3）由題意可知，要使電子的側向位移最大，應讓電子從0、2t₀、4t_o…等時刻進入偏轉電場，在這種情況下，電子的偏向位移為
ymax=

1

2

a

t

2 0

+vyt0=

1

2

×

eU0

md

×

t

2 0

+

eU0

md

t

2 0

要使電子的側向位移最小，應讓電子從t₀、3t_o…等時刻進入偏轉電場，在這種情況下，電子的側向位移為mdymin=

1

2

a

t

2 0

=

1

2

×

eU0

md

t

2 0

所以電子從偏轉電場中出來時的最大側向位移和最小側向位移的差值為：
△y=y_max-y_min=

eU0

md

t

2 0

因進入偏轉磁場時電子速度大小v=

v 2 0 + v 2 y

相同，方向平行，所以電子在磁場中的軌道半徑相同，都垂直打在熒光屏上，所以打在熒光屏上的電子束寬度為
△y=

eU0

md

t

2 0

答：（1）如果電子在t=t₀時刻進入兩板間，求它離開偏轉電場時豎直分位移的大小為

eU0 t 2 0

2md

．
（2）要使電子在t=0時刻進入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強磁場的水平寬度l為l=

U0t0

Bd

；
（3）在滿足第（2）問的情況下，打在熒光屏上的電子束的寬度為

eU0

md

t

2 0

．

點評：會用運動的合成與分解處理類平拋運動問題，根據物體運動的受力情況，確定粒子運動性質，確定物體運動的軌跡并能根據幾何關系求解．