Question

13．土星擁有許多衛星，至目前為止所發現的衛星數已經有30多個．土衛一是土星8個大的、形狀規則的衛星中最小且最靠近土星的一個，直徑392公里，與土星平均距離約1.8×10⁵公里，公轉周期為23小時，正好是土衛三公轉周期的一半，這兩個衛星的軌道近似于圓形．求：
（1）土衛三的軌道半徑（已知：$\root{3}{2}$=1.26，結果保留兩位有效數字）；
（2）土星的質量（結果保留一位有效數字）．

Answer 1

分析 （1）根據開普勒第三定律求出土衛三的軌道半徑．
（2）根據萬有引力提供向心力，結合軌道半徑和周期求出土星的質量．

解答 解：（1）根據開普勒第三定律$\frac{R^3}{T^2}=k$，可知土衛一的軌道半徑r₁、周期T₁與土衛三的軌道半徑r₂、周期T₂滿足：$\frac{{{R_1}^3}}{{{T_1}^2}}=\frac{{{R_2}^3}}{{{T_2}^2}}$，
所以${R_2}=\root{3}{{\frac{{{T_2}^2}}{{{T_1}^2}}}}{R_1}={（\root{3}{2}）^2}×1.8×{10^5}=2.9×{10^5}km$．
（2）根據土衛一繞土星運動有：$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m{R}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
可得土星質量：$M=\frac{4×3.1{4}^{2}×（1.8×1{0}^{8}）^{3}}{6.67×1{0}^{-11}×（23×3600）^{2}}$=5×10²⁶kg．
答：（1）土衛三的軌道半徑為2.9×10⁵km
（2）土星的質量為5×10²⁶kg．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運用，難度不大．