Question

如下圖所示，一質量M=2 kg的長木板B靜止于光滑水平面上，B的右邊放有豎直擋板.現有一小物體A(可視為質點)質量m=1 kg，以速度v₀=6 m/s從B的左端水平滑上B，已知A和B間的動摩擦因數μ=0.2，B與豎直擋板的碰撞時間極短，且碰撞時無機械能損失.

(1)若B的右端距擋板s=4 m，要使A最終不脫離B，則木板B的長度至少多長？

(2)若B的右端距擋板s=0.5 m，要使A最終不脫離B，則木板B的長度至少多長？

Answer 1

解：(1)設A滑上B后達到共同速度前并未碰到擋板，則根據動量守恒定律得它們的共同速度為v，有

mv₀=(M+m)v,解得v=2 m/s,

在這一過程中，B的位移為S_b由動能定理：μmgs_b=Mv²解得s_b=2 m.

當s=4 m時，A、B達到共同速度v=2 m/s后再勻速向前運動2 m碰到擋板，B碰到豎直擋板后，根據動量守恒定律得A、B最后相對靜止時的速度為v′,則Mv-mv=(M+m)v′,

解得v′= m/s.

在這一過程中，A、B的相對位移為s₁,根據動能定理，得

μmgs₁=mv₀²- (M+m)v′²,

解得s₁=8.67 m.

因此，A、B最終不脫離的木板最小長度為8.67 m

(2)因B離豎直擋板的距離s=0.5 m＜2 m,所以碰到擋板時，A、B未達到相對靜止，此時B的速度為v_b由動能定理

μmgs=Mv_b²解得v_b=1 m/s,

設此時A的速度為v_a,根據動量守恒定律，得

mv₀=Mv_B+mv_A,解得v_a=4 m/s,

B碰撞擋板后，以原速率反彈，A、B最終達到向右的相同速度v,

根據動量守恒定律得：mv_A-Mv_B=(M+m)v,解得v=m/s.

B再次碰到擋板后，以原速率反彈，A、B最終以相同的速度v′向左共同運動，根據動量守恒定律，得

Mv-mv=(M+m)v′,

解得v′=m/s.

在這一過程中，A、B發生的相對位移s_b為：

μmgs_b=mv₀²- (M+m)v′²,解得s_b=8.96 m

因此，為使A不從B上脫落，B的最小長度為8.96 m.