Question

如圖所示，足夠長的斜面與水平面的夾角為θ=53°，空間中自下而上依次分布著垂直斜面向下的勻強磁場區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、…n，相鄰兩個磁場的間距均為d=0.5m．一邊長L=0.1m、質量m=0.5kg、電阻R=0.2Ω的正方形導線框放在斜面的頂端，導線框的下邊距離磁場I的上邊界為d₀=0.4m，導線框與斜面間的動摩擦因數μ=0.5．將導線框由靜止釋放，導線框在每個磁場區域中均做勻速直線運動．已知重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）導線框進入磁場 I 時的速度；
（2）磁場 I 的磁感應強度B₁；
（3）磁場區域n的磁感應強度B_n與B₁的函數關系．

Answer 1

分析：（1）對線框研究，運用動能定理求出導線框進入磁場 I 時的速度．
（2）線框進入磁場后受重力、支持力、安培力和摩擦力，根據共點力平衡，結合閉合電路歐姆定律、切割產生的感應電動勢公式求出磁感應強度的大小．
（3）線框在相鄰兩個磁場之間加速的距離均為（d-L）=d₀，根據動能定理求出線框進入第n個磁場時的速度，結合共點力平衡，知在每個磁場中所受的安培力均相等，從而求出磁感應強度的表達式．

解答：解：（1）線框從靜止開始運動至剛進入磁場I時，以線框為研究對象，由動能定理有：(mgsinθ-μmgcosθ)?d0=

1

2

mv12-0…①
解①并代入數據得：
v₁=2m/s…②
（2）線框在磁場I中勻速運動，由法拉第電磁感應定律：E₁=B₁Lv₁…③
由閉合電路歐姆定律：I1=

E1

R

…④
線框受到安培力：F₁=B₁I₁L…⑤
由平衡條件有：mgsinθ-μmgcosθ-F₁=0…⑥
聯解①②③④⑤并代入數據得：B₁=5T…⑦
（3）線框在相鄰兩個磁場之間加速的距離均為（d-L）=d₀，故線框由靜止開始運動至剛進入第n個磁場時，由動能定理：n(mgsinθ-μmgcosθ)?d0=

1

2

mvn2-0…⑧
又由③④⑤得線框在第一個磁場I中受到的安培力：F1=

B12L2v1

R

…⑨
線框在第n個磁場受到的安培力：Fn=

Bn2L2vn

R

…⑩
線框在每個磁場區域中均作勻速直線運動，受到的安培力均相等：F_n=F₁…（11）
聯解⑨⑩（11）（12）得：Bn=

B1

4 n

…（12）
答：（1）導線框進入磁場 I 時的速度為2m/s．
（2）磁場 I 的磁感應強度為5T．
（3）磁場區域n的磁感應強度B_n與B₁的函數關系為Bn=

B1

4 n

．

點評：本題考查了動能定理、閉合電路歐姆定律、共點力平衡、電磁感應等知識點，綜合性較強，對學生的能力要求較高，要加強這方面的訓練．