Question

17．過山車是人們喜愛的一項活動，某一游樂場過山車可簡化為如圖的模型：如圖所示，甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，半徑分別為R=1m和r=0.6m，在兩軌道之間有一條長為L=3m水平軌道CD相通，一質量為1kg的小球以一定的速度先滑上甲軌道，通過CD段后又滑上乙軌道，最后從乙軌道最低點滑離軌道，小球運動過程中一直未脫離軌道，且小球與水平軌道間的動摩擦因數為μ=0.2，問：
（1）小球剛進入甲軌道時的速度v₀至少為多大？
（2）若小球以（1）問中的最小速度進入甲軌道，則小球經過乙軌道最低點時對軌道的壓力F多大？

Answer 1

分析 （1）小球在兩圓軌道的最高點對軌道的壓力恰好為零，都由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球經過圓形軌道最高點時的速率．當小球從C到達甲圓形軌道的最高點的過程中，只有重力做功，根據機械能守恒定律求解小球剛進入甲軌道時的速度v₀．
（2）根據動能定理求小球經過乙軌道最低點時的速度，再由牛頓定律求小球對軌道的壓力．

解答 解：（1）設小球恰好通過甲軌道最高點的速度為v₁，則有
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 v₁=$\sqrt{gR}$
取軌道最低點所在水平面為參考平面，從C到甲軌道的最高點的塩，由機械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}$mv₀₁²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₁²
解得 v₀₁=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×1}$=5$\sqrt{2}$m/s
小球恰好通過乙軌道最高點時的速度 v₂=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{6}$m/s
從C到乙軌道最高點的過程，由動能定理得
-mg•2r=-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀₂²，解得 v₀₂=$\sqrt{42}$m/s＜v₀₁
所以小球剛進入甲軌道時的速度v₀至少為5$\sqrt{2}$m/s．
（2）若小球以（1）問中的最小速度進入甲軌道，設小球經過乙軌道最低點時速度為v_D．
從C運動到D的過程，由動能定理得
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀₁²．
在D點，由牛頓第二定律得
  F′-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
聯立可得 F′=$\frac{220}{3}$N
根據牛頓第三定律知，小球經過乙軌道最低點時對軌道的壓力 F=F′=$\frac{220}{3}$N
答：
（1）小球剛進入甲軌道時的速度v₀至少為5$\sqrt{2}$m/s．
（2）小球經過乙軌道最低點時對軌道的壓力F為$\frac{220}{3}$N．

點評 本題是向心力、機械能守恒定律、動能定理的綜合應用．在豎直平面內，小球沿光滑圓軌道的運動模型與輕繩拴的球的運動模型相似，最高點的速度是v=$\sqrt{gr}$．