Question

8．如圖甲所示，一長為l=1m的輕繩，一端穿在過O點的水平轉軸上，另一端固定一質量為m=0.2kg的小球，整個裝置繞O點在豎直面內轉動．給系統輸入能量，使小球通過最高點的速度不斷加快，通過測量作出小球通過最高點時，繩對小球的拉力F與小球在最高點動能E_k的關系如圖乙所示，重力加速度g=10m/s²，不考慮摩擦和空氣阻力，請分析并回答以下問題：

（1）若要小球能做完整的圓周運動，對小球過最高點的速度有何要求？（用題中給出的字母表示）
（2）請根據題目及圖象中的條件，求出圖乙中b點所示狀態小球的動能；
（3）當小球達到圖乙中b點所示狀態時，立刻停止能量輸入．之后的運動過程中，在繩中拉力達到最大值的位置時輕繩繃斷，求繃斷瞬間繩中拉力的大�。�

Answer 1

分析 （1）在最高點，由牛頓第二定律可求小球能做完整的圓周運動滿足的條件；
（2）在最高點，由牛頓第二定律并結合圖象信息可求小球質量和擺線長度；由圖象得斜率，根據動能定理求外界對系統做的功；
（3）應用機械能守恒定律和牛頓第二定律求繃斷瞬間繩中拉力的大�。�

解答 解：（1）小球剛好通過最高點做完整圓運動要求在最高點受力滿足：mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
因此小球過最高點的速度要滿足：v≥$\sqrt{gl}$．
（2）小球在最高點時有：mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{l}$  又因為：E_K=$\frac{1}{2}$mv²，
由圖可知，b點時F=4.0N，
解得：E_K=3.0J；
（3）在停止能量輸入之后，小球在重力和輕繩拉力作用下在豎直面內做圓周運動，運動過程中機械能守恒．當小球運動到最低點時，繩中拉力達到最大值．
設小球在最低點的速度為v，對從b狀態開始至達到最低點的過程應用機械能守恒定律，有：mg•2l=$\frac{1}{2}$mv²-E_Kb；
設在最低點繩中拉力為F_m，由牛頓第二定律有：F_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
兩式聯立解得：F_m=16N，
即：繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N．
答：（1）若要小球能做完整的圓周運動，對小球過最高點的速度滿足：v≥$\sqrt{gl}$；
（2）外界對此系統做的功為3.0J；
（3）繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N．

點評 本題主要考查了圓周運動向心力公式的直接應用，要求同學們能根據圖象獲取有效信息，難度適中．熟練運用牛頓第二定律和機械能守恒定律也是解答此題的關鍵．