Question

傳送帶現已廣泛應用于機場、商店等公共場所，為人們的生活帶來了很多的便利．如圖所示，一長度L=7m的傳送帶與水平方向間的夾角α=30°，在電動機帶動下以v=2m/s的速率順時針勻速轉動．在傳送帶上端接有一個斜面，斜面表面與傳送帶表面都在同一平面內．將質量m=2kg可視作質點的物體無初速地放在傳送帶底端，物體經傳送帶作用后能到達斜面頂端且速度為零．若物體與傳送帶及物體與斜面間的動摩擦因數都為μ=

2 3

5

，g=10m/s²，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，求：
（1）物體在從傳送帶底端運動到斜面頂端過程中傳送帶對物體所做的功；
（2）傳送帶上方所接的斜面長度．

Answer 1

分析：（1）物體先在傳送帶上做初速度為零的勻加速直線運動，后做勻速運動．先根據牛頓第二定律求出物體的加速度，再由速度公式求出物體在傳送帶相對滑動的時間，由位移公式分別求出傳送帶與物體的位移．物體先受到滑動摩擦力，大小為μmgcosθ，后速度與傳送帶相同后，受到靜摩擦力，大小為mgsinθ，根據動能定理求解傳送帶對物體所做的功；
（2）物體離開傳送帶后做勻減速運動，到斜面頂端時速度為零，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求解傳送帶上方所接的斜面長度．

解答：解：（1）對物體，先在傳送帶上做初速度為零的勻加速直線運動，根據牛頓第二定律得：
   f-mgsin30°=ma
又 f=μmgcos30°
解得：a=1m/s²，沿斜面向上；
設物體速度經過時間t與傳送帶相等，則由 v=at
得，t=

v

a

=

2

1

s=2s
此過程中物體通過的位移為 x=

1

2

at2=

1

2

×1×22m=2m＜7m
所以物體接著做勻速直線運動，離開傳送帶時速度為：v=2m/s
對整個過程，由動能定理：W-mgLsin30°=

1

2

mv2
得：W=mgLsin30°+

1

2

mv2=2×10×7×0.5+

1

2

×2×2²=74（J）
（2）物體到斜面上以后，根據牛頓第二定律得：
  f+mgsin30°=ma₁
解得：a₁=11m/s²
 由v²=2a₁s得，
解得：s=

v2

2a1

=

22

2×11

m=

2

11

m             
答：
（1）物體在從傳送帶底端運動到斜面頂端過程中傳送帶對物體所做的功為74J；
（2）傳送帶上方所接的斜面長度為

2

11

m．

點評：本題首先要準確分析物體的運動情況，再根據動能定理和牛頓第二定律、運動學公式進行求解．