Question

17．如圖所示，在xOy平面內，以O₁（0，R）為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內有垂直平面向里的勻強磁場B₁，x軸下方有一直線ab，ab與x軸相距為d，x軸與直線ab間區(qū)域有平行于y軸的勻強電場E，在ab的下方有一平行于x軸的感光板MN，ab與MN間區(qū)域有垂直于紙平面向外的勻強磁場B₂．
在0≤y≤2R的區(qū)域內，質量為m、電荷量為e的電子從任何位置從圓形區(qū)域的左側沿x軸正方向以速度v₀射入圓形區(qū)域，經過磁場B₁偏轉后都經過O點，然后進入x軸下方．已知x軸與直線ab間勻強電場場強大小E=$\frac{3mυ_0^2}{2ed}$，ab與MN間磁場磁感應強度B₂=$\frac{m{v}_{0}}{ed}$．不計電子重力．
（1）求圓形區(qū)域內磁場磁感應強度B₁的大小？
（2）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都不能打在感光板MN上，MN與ab板間的最小距離h₁是多大？
（3）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都能打在感光板MN上，MN與ab板間的最大距離h₂是多大？當MN與ab板間的距離最大距離h₂時，求電子打到MN板上的位置到y(tǒng)軸的最遠距離s．

Answer 1

分析 （1）抓住所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運動軌道半徑大小相等，根據幾何關系得出粒子在磁場中的運動半徑，結合半徑公式求出圓形區(qū)域內磁場磁感應強度B₁的大小．
（2）根據動能定理求出粒子進入磁場下方磁場的速度，根據半徑公式求出粒子的半徑，根據幾何關系求出粒子進入磁場時速度方向與水平方向的夾角，通過幾何關系求出MN與ab板間的最小距離．
（3）如果電子在O點沿x軸正方向射入電場，經電場偏轉和磁場偏轉后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上．根據幾何關系求出MN與ab板間的最大距離．
作出粒子的運動軌跡，根據幾何關系求出電子打到MN板上的位置到y(tǒng)軸的最遠距離s．

解答 解：（1）所有電子射入圓形區(qū)域后做圓周運動軌道半徑大小相等，由幾何關系，有：
r=R…①
由洛倫茲力提供向心力，有：$e{v}_{0}^{\;}{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$…②
由①②得：${B}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{eR}$…③
（2）設電子經電場加速后到達ab時速度大小為v，電子在ab與MN間磁場做勻速圓周運動的軌道半徑為${r}_{1}^{\;}$，沿x軸負方向射入電場的電子離開電場進入磁場時速度方向與水平方向成θ角，則有：
$eEd=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…④
${r}_{1}^{\;}=\frac{mv}{e{B}_{2}^{\;}}$…⑤
$cosθ=\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}$…⑥
如果電子在O點以速度${v}_{0}^{\;}$沿x軸負方向射入電場，經電場和磁場偏轉后，不能打在感光板上，則所有電子都不能打在感光板上，軌跡如圖，則感光板與ab間的最小距離為：
${h}_{1}^{\;}={r}_{1}^{\;}+{r}_{1}^{\;}cosθ$…⑦
由④⑤⑥⑦得：
$v=2{v}_{0}^{\;}$        ${r}_{1}^{\;}=2d$      θ=60°     h₁=3d…⑧
（2）如果電子在O點以速度${v}_{0}^{\;}$沿x軸正方向射入電場，經電場和磁場偏轉后，能打在感光板上，則所有電子都能打在感光板上，軌跡如圖，則感光板與ab間的最大距離為：
${h}_{2}^{\;}={r}_{1}^{\;}-{r}_{1}^{\;}cosθ$…⑨
解得：${h}_{2}^{\;}=d$…⑩
當感光板與ab間取最大距離${h}_{2}^{\;}=d$時，沿x軸正方向射入電場的電子打在感光板上的位置距y軸最遠，電子在電場中有
沿${v}_{0}^{\;}$方向有：$x={v}_{0}^{\;}t$
垂直${v}_{0}^{\;}$方向有：$d=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}{t}_{\;}^{2}$
由幾何關系，最遠距離為：$s=x+{r}_{1}^{\;}sinθ$
由以上各式得：$s=\frac{5\sqrt{3}d}{3}$
答：（1）圓形區(qū)域內磁場磁感應強度B₁的大小為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{eR}$
（2）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都不能打在感光板MN上，MN與ab板間的最小距離h₁是3d
（3）若要求從所有不同位置出發(fā)的電子都能打在感光板MN上，MN與ab板間的最大距離h₂是d，當MN與ab板間的距離最大距離h₂時，電子打到MN板上的位置到y(tǒng)軸的最遠距離s為$\frac{5\sqrt{3}d}{3}$

點評 本題考查了帶電粒子在磁場、電場中的運動，關鍵作出粒子的運動軌跡，結合臨界狀態(tài)，根據半徑公式、周期公式以及幾何關系綜合求解，難度較大．