Question

（18分）1957年第一顆人造衛星上天，開辟了人類宇航的新時代。四十多年來，人類不僅發射了人造地球衛星，還向宇宙空間發射了多個空間探測器。空間探測器要飛向火星等其它行星，甚至飛出太陽系，首先要克服地球對它的引力的作用。理論研究表明，由于物體在地球附近受到地球對它的萬有引力的作用，具有引力勢能。設質量為m的物體在距地球無限遠處的引力勢能為零，則引力勢能表達式為E_P＝－，式中G是萬有引力常量，M是地球的質量，r是該物體距地心的距離。

（1）試證明空間探測器的最小發射速度與它繞地球勻速運行的最大環繞速度相等。

（2）現有一個質量為m的空間探測器繞地球做勻速圓周運動，運行周期為T，已知球半徑為R，地面附近的重力加速度為g。求該探測器做勻速圓周運動時的機械能（用m、g、R、T表示）；

（3）在（2）的情形下，要使這個空間探測器從運行軌道上出發，脫離地球的引力作用，至少要對它作多少功？

Answer 1

解析：

（1）設G是萬有引力常量，地球質量為M，人造地球衛星的質量是m．當人造地球衛星在離地心r處的軌道上繞地球以速度v做勻速圓周運動時，由地球對衛星的萬有引力提供衛星環繞運行所需的向心力關系知

＝， v＝（2分）

因為R是r的最小值，所以v＝是地球衛星繞地球做勻速圓周運動的最大環繞速度，即v_max環＝（2分）

取離地球中心無窮遠處為引力勢能的零點，則物體在距地球中心為r處的引力勢能可表示為（1分）

設地面上衛星的發射速度為v_發，先假定發射時不計空氣阻力，地球衛星進人地球軌道半徑r處時，衛星環繞速度為v，則由機械能守恒定律，可得

（2分）

又因v＝，將其代入上式可得

所以v_發＝　（1分）

要發射一個貼“地皮”飛行的人造地球衛星，這時的r是最小的，從v_發可知衛星發射速度也是最小的，將r＝R代入上式的v_發，得v_發＝（1分）即v_發＝v_max環（1分）

其他解法可一樣得分。

（2）空間探測器繞地球作圓周運動，有

由＝得，空間站的軌道半徑r＝　　（1分）

＝

隨空間站一起運動時，空間探測器的動能為mv²＝＝　（1分）

隨空間站一起運動時，空間探測器具有的機械能為

E₁＝－＋mv²=－＝（2分）

（3）空間站要脫離地球的引力，機械能最小值為E_∞＝0，因此，對探測器做功為

W＝E_∞－E₁＝　　　　　　（2分）

由地面附近的重力加速度g=得W＝　（2分）