Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xOy的平面內，有一個半徑為R，圓心O1坐標為（0，﹣3R）的圓形區域，該區域內存在著磁感應強度為B1、方向垂直坐標平面向里的勻強磁場；有一對平行電極板垂直于x軸且關于y軸對稱放置，極板AB、CD的長度和兩板間距均為2R，極板的兩個端點B和D位于x軸上，AB板帶正電，CD板帶負電。在第一和第二象限內（包括x軸和正y軸上）有垂直于坐標平面向里的磁感應強度為B2（未定知）的勻強磁場。另有一塊長為R厚度不計的收集板EF位于x軸上2R～3R的區間上。現有一坐標在（R，﹣3R）的電子源能在坐標平面內向圓形區域磁場內連續不斷發射速率均為、方向與y軸正方向夾角為θ（θ可在0～180°內變化）的電子。已知電子的電荷量大小為e，質量為m，不計電子重力作用，不計電子之間的相互作用力，兩極板之間的電場看成勻強電場且忽略極板的邊緣效應。電子若打在AB極板上則即刻被導走且不改變原電場分布；若電子能經過第一、二象限的磁場后打在收集板上也即刻被吸收（不考慮收集板的存在對電子運動的影響）；若電子沒有打在收集板上則不考慮后續的運動。求：

（1）若從θ=60°發射的電子能夠經過原點O，則兩極板間電壓為多大？

（2）要使第（1）問中的電子能被收集板吸收，則B2應為多大？

（3）若B2=B1，兩極板間的電壓為第（1）問中的電壓，要使收集板的右端點F被電子擊中，則收集板繞左端點E逆時針旋轉的角度至少多大？（答案可用反三角函數表示，例如cosθ=，則θ可表示為arccos）

（4）若B2=B1，兩極板間的電壓大小可以從0開始調節（兩極板極性不變），則從哪些角度發射的電子可擊中收集板的右端點F。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）θ≤120°發射的電子可擊中收集板的右端點F

【解析】

根據洛倫茲力做向心力求得在圓形磁場區域的軌道半徑，即可由幾何關系求得進入電場的位置和速度方向；再根據勻變速運動規律求得加速度，即可得到電壓；根據電子做勻速圓周運動，由幾何關系求得軌道半徑范圍，即可根據洛倫茲力做向心力求得磁感應強度范圍；分析電子運動得到旋轉角度最小時對應的情況，然后根據幾何關系求解；由幾何關系求得不同位置進入y≥0區域的電子的軌道半徑，然后根據洛倫茲力做向心力得到速度范圍，即可根據電子的豎直分速度不變得到范圍，從而得到角度范圍。

（1）電子在圓心磁場區域中做勻速圓周運動，速度

洛倫茲力做向心力，故有：

解得軌道半徑：

根據幾何關系可得：電子離開圓心磁場時的速度方向豎直向上，那么，電子運動到O點的軌跡如圖所示：

電子在極板間運動只受電場力作用，故電子做類平拋運動，加速度

豎直位移為2R，水平位移為

故有：2R=v0t，

所以兩極板間電壓：

（2）由（1）可得：電子在O點時的水平分速度

故設電子在y≥0區域做勻速圓周運動的軌道半徑為R2，則由幾何關系可得：電子再次經過x軸的坐標

故根據收集板位置，要使第（1）問中的電子能被收集板吸收，則有：；

再根據洛倫茲力做向心力可得：，所以，軌道半徑，磁場強度；

所以，；又有，所以，

（3）若B2=B1，則電子在y≥0區域做勻速圓周運動的軌道半徑為

以θ=0發射的電子打在收集板右端點F時，收集板繞左端點E逆時針旋轉的角度γ最小；此時，電子進入y≥0區域時的速度方向與x軸間的夾角，在x軸上的坐標

設此時F的坐標為（X，Y），則由幾何關系可得：，（X﹣2R）2+Y2=R2，；

所以，，， ；

（4）設電子進入y≥0區域時的速度為v，到F的距離為2d，粒子做勻速圓周運動的軌道半徑為r；則豎直分量為v0；

由幾何關系可得：

根據洛倫茲力做向心力可得：，所以，，故；

故從處離開電場的電子可以擊中收集板的右端點F；

又有兩極板間的電壓大小可以從0開始調節，電子進入電場時的速度豎直向上，在電場中運動向左偏轉；所以，離開圓形磁場區域時的x軸坐標在范圍內的電阻可以擊中收集板的右端點F；根據電阻在圓形磁場區域的軌道半徑為R，由幾何關系可得：θ≤120°；