Question

在電視中我們常看見魔術師使圓筒在空中無任何支撐條件下運動，簡稱“魔環運動”，其原理如圖1所示．即水平地面上豎直放置一個質量為m、半徑為R的光滑金屬圓筒，在圓筒最底點P安裝一個儲備一定能量的彈簧裝置，將一質量為2m的小球A（可視為質點）置于P點，打開彈簧裝置將彈簧儲備的能量全部轉移給A，A就會從圓筒的P點運動到最高點Q，又從Q點運動P點，在這一過程中，圓筒將離開地面時而向上或向下運動，這就是“魔環運動”．設筒的內徑、彈簧裝置的大小、圓筒自身的運動可以忽略，完成下列問題：
（1）要使A要到達Q點，求A在P點的最小速度．
（2）當A運動到Q點時，要使圓筒離開地面，求A在Q點的最小速度．
（3）當A運動到Q點時，要使圓筒具有大小為g，方向豎直向上的加速，則彈射裝置應該儲備的能量？
（4）以A在最高點對圓筒的作用力F_N為縱坐標（規定向上為正），彈簧裝置儲備的能量E為橫坐標，在圖2中作出F_N-E圖象．

Answer 1

分析：應用機械能守恒定律求速度；要使圓筒離開地面，則A在Q點所受指向圓心的合外力為3mg，由向心力公式求速度；要使圓筒的加速度為g，則A受到的合外力為4mg，由向心力公式和能量守恒即可求解．

解答：解：（1）當A要到達Q點，在Q點速度為0，由機械能守恒定律得：
2mg（2R）=

1

2

×2

mV

2 1

得：V1=2

gR

（2）要使圓筒離開地面，則A在Q點所受指向圓心的合外力為3mg，由牛頓第二定律：
3mg=

2 mV 2 2

R

 得：V2=

3gR 2

（3）要使圓筒的加速度為g，則A受到的合外力為4mg，由牛頓第二定律：
4mg=

2 mV 2 3

R

由能量守恒：E=2mg×2R+

1

2

×2

mV

2 3

=6mgR
（4）圖象如圖所示

答：（1）要使A要到達Q點，A在P點的最小速度V1=2

gR

．（2）當A運動到Q點時，要使圓筒離開地面，A在Q點的最小速度V2=

3gR 2

．
（3）當A運動到Q點時，要使圓筒具有大小為g，方向豎直向上的加速，則彈射裝置應該儲備的能量為6mgR．（4）如圖．

點評：本題才關鍵是分析求在最高點的受力，結合向心力公式和牛頓第二定律求解．