Question

19．假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g₀，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常數為G，求地球的密度ρ．

Answer 1

分析 根據萬有引力等于重力，則可列出物體在兩極的表達式，再由引力與支持力的合力提供向心力，列式綜合可求得地球的質量，最后由密度公式，即可求解．

解答 解：在兩極，引力等于重力，則有：mg₀=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
由此可得地球質量M=$\frac{{g}_{0}{R}^{2}}{G}$，
在赤道處，引力與支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律，則有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-mg=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，解得：ρ=$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$；
答：地球的密度為$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$．

點評 該題考查萬有引力定律，掌握牛頓第二定律的應用，注意地球兩極與赤道的重力的區別，知道密度表達式．