Question

9．如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，半圓軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點(diǎn)A．一質(zhì)量為m的小球在水平地面上的C點(diǎn)受水平向左的恒力F由靜止開始運(yùn)動，當(dāng)運(yùn)動到A點(diǎn)時撤去恒力F，小球沿豎直半圓軌道
運(yùn)動到軌道最高點(diǎn)B點(diǎn)，最后又落在水平地面上的D點(diǎn)（圖中未畫出）．已知A、C間的距離為L，重力加速度為g．
（1）為使小球能運(yùn)動到軌道最高點(diǎn)B，求軌道半徑的最大值R_m；
（2）軌道半徑R多大時，小球在水平地面上的落點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離最大？最大距離x_m是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時，軌道半徑最大，根據(jù)動能定理和牛頓第二定理求出軌道半徑的最大值．
（2）根據(jù)動能定理求出最高點(diǎn)的速度表達(dá)式，結(jié)合平拋運(yùn)動的規(guī)律得出水平位移的表達(dá)式，通過數(shù)學(xué)知識分析求解．

解答 解：（1）當(dāng)小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時，軌道半徑最大，根據(jù)牛頓第二定律有：
$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{{R}_{m}}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{g{R}_{m}}$，
根據(jù)動能定理得：$FL-2mg{R}_{m}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，
解得：${R}_{m}=\frac{2FL}{5mg}$．
（2）根據(jù)動能定理得：$FL-2mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
解得：v=$\sqrt{\frac{2FL-4mgR}{m}}$，
設(shè)小球平拋運(yùn)動的時間為t，在豎直方向上有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$2\sqrt{\frac{R}{g}}$，
水平位移為：x=$vt=\sqrt{\frac{2FL-4mgR}{m}}•2\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{\frac{（2FL-4mgR）（4mgR）}{{m}^{2}{g}^{2}}}$，
當(dāng)2FL-4mgR=4mgR時，水平位移最大，得R=$\frac{FL}{4mg}$，
最大距離${x}_{m}=4R=\frac{FL}{mg}$．
答：（1）軌道半徑的最大值為$\frac{2FL}{5mg}$；
（2）軌道半徑R為$\frac{FL}{4mg}$時，小球在水平地面上的落點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離最大，最大距離為$\frac{FL}{mg}$．

點(diǎn)評 本題考查了動能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律以及圓周運(yùn)動向心力的來源是關(guān)鍵，本題對數(shù)學(xué)知識能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．