Question

如圖所示，皮帶傳動裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R= m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點，輪緣與傳送帶之間不打滑．一個質量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=．g取10m/s²．
（1）當傳送帶沿逆時針方向以v₁=3m/s的速度勻速運動時，將小物塊無初速地放在A點后，它運動至B點需多長時間？（計算中可取≈16，≈20）
（2）小物塊相對于傳送帶運動時，會在傳送帶上留下痕跡．當傳送帶沿逆時針方向勻速運動時，小
物塊無初速地放在A點，運動至B點飛出．要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運動的速度v₂至少多大？

Answer 1

解：（1）當小物塊速度小于3m/s時，小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運動，設加速度為a₁，根據牛頓第二定律
mgsin30°+μmgcos30°=ma₁①
解得 a₁=7.5m/s²
當小物塊速度等于3m/s時，設小物塊對地位移為L₁，用時為t₁，根據勻加速直線運動規律得
②
③
代入解得 t₁=0.4 s L₁=0.6 m
由于L₁＜L 且μ＜tan30°，當小物塊速度等于3m/s時，小物塊將繼續做勻加速直線運動至B點，設
加速度為a₂，用時為t₂，根據牛頓第二定律和勻加速直線運動規律得
mgsin30°-μmgcos30°=ma₂④
解得 a₂=2.5m/s²
又L-L₁=v₁t₂+a₂t₂²⑤
解得 t₂≈0.8 s
故小物塊由靜止出發從A到B所用時間為 t=t₁+t₂=1.2s
（2）傳送帶勻速運動的速度越大，小物塊從A點到B點用時越短，當傳送帶速度等于某一值v′時，小物塊將從A點一直以加速度a₁做勻加速直線運動到B點，所用時間最短，設用時t₀，即
L=a₁t₀²⑥
解得t₀=1s
傳送帶的速度繼續增大，小物塊從A到B的時間保持t₀不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續增大；當痕跡長度等于傳送帶周長時，痕跡為最長S_max．
設此時傳送帶速度為v₂，則
S_max=2L+2πR⑦
S_max=v₂t₀-L ⑧
聯立⑥⑦⑧解得 v₂=12.25m/s
答：
（1）將小物塊無初速地放在A點后，它運動至B點需1.2s時間．
（2）要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運動的速度v₂至少為12.25m/s．
分析：（1）根據牛頓第二定律和運動學公式分析小物塊的運動情況．先由牛頓第二定律求出小物塊沿傳送帶向下勻加速運動的加速度，由運動學公式求出物塊速度與傳送帶相等時所經過的時間和通過的位移，判斷物塊的速度與傳動帶速度相等以后物體的運動情況，再根據牛頓第二定律和運動學公式結合求解運動時間．
（2）小物塊相對于傳送帶運動時，在傳送帶上留下痕跡等于兩者相對路程的大小．分析傳送帶速度與留下的痕跡長度的關系，確定什么條件下痕跡最長，再由運動學公式求出傳送帶勻速運動的速度v₂．
點評：本題的關鍵之處在于分析物塊的運動情況，也可以通過作速度圖象分析．