Question

（2006?武漢模擬）在處于水平方向的光滑細管內，一根勁度系數為k的長為L的輕彈簧，一端固定在管的端點O，另一端連接一個質量為m的小球．今將細管以O為軸逆時針緩慢轉動，直至轉到豎直方向，則在此過程中（不計一切摩擦，彈簧彈力總滿足胡克定律）（　　）

A．小球的質量足夠大時，總能使小球的重力勢能不斷增大

B．小球的質量m足夠大時，總能使小球的重力勢能先增大后減小

C．彈簧的長度足夠小時，總能使小球的重力勢能不斷增大

D．彈簧的長度足夠長時，總能使小球的重力勢能先增大后減小

Answer 1

分析：以O為轉軸在豎直平面內逆時針緩慢轉動，直至細管變為豎直狀態，小球始終處于平衡狀態，抓住小球重力沿斜面方向上的分力與彈簧彈力大小相等，得出形變量的變化，從而得出高度的關系式，通過關系式判斷高度的變化．從而得出重力勢能的變化．

解答：解：設轉過的角度為θ，有mgsinθ=kx，則彈簧的形變量x=

mgsinθ

k

．
球的高度h=（l₀-x）sinθ=(l0-

mgsinθ

k

)sinθ=-

mg

k

(sinθ-

kl0

2mg

)2+

kl02

4mg

因為sinθ＜1．
所以當彈簧的長度l₀一定，則球的質量m足夠大時，

kl0

2mg

＜1，則h先增大后減小，重力勢能先增大后減小．
當球的質量m一定，則彈簧的長度l₀足夠小時，

kl0

2mg

＜1，則h先增大后減小，重力勢能先增大后減小．故B正確，A、C、D錯誤．
故選B．

點評：本題對數學能力的要求較高，通過二次函數的方法并對sinθ的討論得出高度的變化．從而得出重力勢能的變化．