Question

（08年上海卷）（14分）如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為r、內(nèi)阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬球，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁＝12R，R₂＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應(yīng)強度大小均為B。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電阻不計的導(dǎo)體棒ab，從半圓環(huán)的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導(dǎo)體棒始終保持水平，與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好，高平行軌道中夠長。已知導(dǎo)體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂。

（1）求導(dǎo)體棒ab從A下落r/2時的加速度大小。

（2）若導(dǎo)體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂。

（3）若將磁場II的CD邊界略微下移，導(dǎo)體棒ab剛進入磁場II時速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運動，加速度大小為a，求所加外力F。隨時

Answer 1

解析：

（1）以導(dǎo)體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產(chǎn)生產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，導(dǎo)體棒ab從A下落r/2時，導(dǎo)體棒在重力與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律，得

mg－BIL＝ma，式中l(wèi)＝r

 

 

式中　　＝4R

 

由以上各式可得到

 

（2）當導(dǎo)體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即

 

 

式中　　

 

解得      

 

導(dǎo)體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有

 

 

得　　

 

此時導(dǎo)體棒重力的功率為

 

 

根據(jù)能量守恒定律，此時導(dǎo)體棒重力的功率全部轉(zhuǎn)化為電路中的電功率，即

 

＝

 

所以，＝

 

（3）設(shè)導(dǎo)體棒ab進入磁場II后經(jīng)過時間t的速度大小為，此時安培力大小為

 

由于導(dǎo)體棒ab做勻加速直線運動，有

根據(jù)牛頓第二定律，有

F＋mg－F′＝ma

 

即　　

 

由以上各式解得