Question

如圖甲所示，PQNM是表面粗糙的絕緣斜面，abcd是質量m=0.5kg、總電阻

R=0.5Ω、邊長L=0.5m的正方形金屬線框，線框的匝數N=10。將線框放在斜面上，使斜面的傾角θ由0°開始緩慢增大，當θ增大到37°時，線框即將沿斜面下滑。假設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，現保持斜面的傾角θ=37°不變，在OO′NM的區域加上垂直斜面方向的勻強磁場，使線框的一半處于磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化的圖像如圖乙所示。（g取10m/s²，sinθ37°=0.6）

   （1）試根據圖乙寫出B 隨時間t變化的函數關系式。

   （2）請通過計算判斷在t=0時刻線框是否會沿斜面運動？若不運動，請求出從t=0時刻

開始經多長時間線框即將發生運動。

Answer 1

【解析】
（1）由圖乙所示圖線可知：磁感應強度B隨時間t 均勻增大，所以B=B₀+kt，其中B₀=0.2T，
所以B=0.2+0.4t（T）
（2）不加磁場時，由題意知，當θ=37°時，線框既將沿斜面下滑，此時斜面對線框的靜摩擦力恰好達到最大值f_max，由平衡條件有f_max=mgsinθ=0.6mg=3N.
加磁場后，由于壓力不變，故f_max的大小不變.
無論磁場方向垂直斜面向上還是向下，由楞次定理可知，當穿過線框的磁通量增大
時，線框受到的安培力沿斜面向上，因此線框若是運動，則應沿斜面向上。即：
滿足F_安≥mgsinθ+f_max=6N，
由法拉第電磁感應定律有
，
由閉合電路歐姆定律知，電流I==1A，
在t=0時刻cd邊受到的安培力F₀=NILB₀=1N，
故所以在t=0時刻，線框
不會沿斜面下滑，也不會沿斜面上滑；
當摩擦力方向沿斜面向下達到最大值時，線框即將
沿斜面向上運動，此時線框受力
如圖所示，由平衡條件有
得磁感應強度大小為B=1.2T，由（1）知，B=0.2+0.4t，
則所經歷時間為t=2.5s.