Question

(17分)如圖所示，質量M＝1kg的木板靜止在粗糙的水平面上，木板與地面間的動摩擦因數為μ₁，在木板的左端放置一個質量m＝1kg、大小可以忽略的鐵塊，鐵塊與木板間的動摩擦因數為μ₂，取g＝10m/s²，試求：

⑴若μ₁＝0.4，μ₂＝0.1，木板長L＝1m，在鐵塊上加一個水平向右的恒力F＝8N，經過多長時間鐵塊運動到木板的右端？
⑵若μ₁＝0.1，μ₂＝0.4，木板長L＝1m，在鐵塊上加一個水平向右的恒力F＝8N，經過多長時間鐵塊運動到木板的右端？
⑶接第⑵問，若在鐵塊上的右端施加一個大小從零開始連續增加的水平向右的力F，通過分析和計算后，請在圖中畫出鐵塊受到木板的摩擦力f₂隨拉力F大小變化的圖象。(設木板足夠長)

Answer 1

⑴t₁＝s；⑵t₂＝1s；⑶

試題分析：⑴鐵塊受拉力F、重力mg、木板的支持力N₂和摩擦力f₂作用，根據牛頓第二定律可知，在水平方向上有：F－f₂＝ma
在豎直方向上有：N₂－mg＝0
顯然，此時f₂為滑動摩擦力，根據滑動摩擦定律有：f₂＝μ₂N₂
聯立解得：a＝－μ₂g＝7m/s²
此時木板受重力Mg、鐵塊的壓力N₂′、摩擦力f₂′，以及地面的支持力N₁和摩擦力f₁，在豎直方向上有：N₁－Mg－N₂′＝0
根據牛頓第三定律有：N₂′＝N₂，f₂′＝f₂
解得：N₁＝Mg＋mg＝20N
由于μ₁N₁＝8N＞f₂′＝f₂＝1N，所以，木板此時靜止不動
根據勻變速直線運動規律有：L＝
解得：t₁＝＝s，即經過s的時間鐵塊運動到木板的右端
⑵由⑴中分析可知，此時鐵塊運動的加速度為：a₂＝－μ₂g＝4m/s²
木板運動的加速度為：a₁＝＝2m/s²
設經過時間t₂鐵塊運動到木板的右端，根據勻變速直線運動規律和幾何關系有：L＝－
解得：t₂＝＝1s
⑶若F較小，則鐵塊和木板均處于靜止狀態，對整體，根據共點力平衡條件有：F≤μ₁(M＋m)g＝2N
此時，對鐵塊，根據共點力平衡條件有：f₂＝F
若F取值適當，則鐵塊和木板將以相同加速度a₀一起運動，對整體，根據牛頓第二定律有：F－μ₁(M＋m)g＝(M＋m)a₀
對木板，根據牛頓第二定律有：f₂′－μ₁(M＋m)g＝Ma₀
此時鐵塊與木板之間的摩擦力為靜摩擦力，有：f₂′＝f₂≤μ₂mg
聯立解得：2N＜F≤6N，f₂＝＋1
若F較大，則鐵塊和木板發生相對滑動，此時f₂為滑動摩擦力，有：f₂＝μ₂mg＝4N，為定值
綜上所述，作出f₂隨拉力F大小變化的圖象如下圖所示：