Question

（2011?廣安二模）我國科學家在對放射性元素的研究中，進行了如下實驗：如圖所示，以MN為界，左、右兩邊分別是電場強度為E的勻強電場和磁感應強度為B的勻強磁場，且兩場區域足夠大．在距離界線為S處平行于MN固定一內壁光滑的瓷管PQ，開始時一個放射性元素的原子核處在管口P處，某時刻該原子核平行于界線的方向放出一質量為m、帶電量-e的電子，發現電子在分界線處速度方向與界線成60°角進入右邊磁場，反沖核在管內做勻速直線運動，當到達管另一端Q點時，剛好俘獲了這個電子而靜止．求：
（1）瓷管PQ的長度1；（2）反沖核的質量M．

Answer 1

分析：電子在電場內做類平拋運動由平拋知識可求相關量，進入磁場后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，出磁場后做斜拋運動回到瓷管下端．

解答：解：由題意可畫得如圖所示電子運動軌跡．

（1）設電子在進入磁場時速度為v，該速度分解為垂直MN方向v_y和沿MN方向v_x．
設電子在電場中運動時間為t₁，在垂直MN方向上，有：
v_y²=2aS        ①
v_y=at₁ 　　②
    a=

eE

m

  ③
①③式得vy=

2eEs m

　
　②③④式得t1=

2ms eE

         
 由此得   vx=vycot60°=

3

3

2eEs m

 ⑥
v=

vy

cos60°

=

2 3

3

2eEs m

     ⑦
沿MN軸的位移    x=vxt1=

2 3

3

           ⑧
設電子在磁場中運動時的半徑為R，根據洛侖茲力做其圓周運動的向心力，
      evB=m

v2

R

               ⑨
解得：R=

mv

eB

=

2 3

3B

2mEs e

       ⑩
電子在磁場中運動時的周期   T=

2πm

eB

       （11）
由圖可知電子在磁場中運動的圓心角為240°
故電子在磁場中運動的時間t₂=

2

3

T=

4πm

3eB

        （12）
由圖的對稱性原理還可知：x+

1

2

=Rsin60°　 　  （13  ）
  聯立可得瓷管PQ的長度  l=

2

B

2mEs e

-

4 3

3

S   （14 ）

（2）電子運行的總時間：t=2t₁+t₂=2

2mS eE

+

4πm

3eB

  （15 ）

反沖核的速度V=

l

t

=

1

2 2mS eE + 4πm 3eB

                      （16 ）

核反應時動量守恒，有：mv_x-MV=0                     （17）

解得反沖核的質量M=

mvx

v

=

4 3 m

3l

E

+

4 3 π

9Bl

2m3ES e

（18）

點評：本題中質點在復合場運動，分析受力情況，確定質點的運動情況是解題的基礎，關鍵是運用數學知識求解距離．